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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{10 000 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10 000 000}$ um: $\frac{1}{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $10 000 000$ eine Potenz ist: $10 000 000$ = $10^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{- 1}$ = ${(10^{7})}^{- 1}$ = $10^{- 7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 7}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 7}$ = $100^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{10 000 000})$ = $\log_{100} (10^{- 7})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 7}$ = $100^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 7}$ = $100^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 7}$ = $100^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{10 000 000})$ = $\log_{100} (10^{- 7})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{10 000 000}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,002)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,002)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.002}{2})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{4})$
= $3 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\frac{13}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{2}) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{2}) + \lg (25 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{2}) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{1250}) + 2 \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 250) + 2 \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze