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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (169)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (169)$ = $2$ , eben weil $13$ ^$2$ = $169$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 1}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{13})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{13}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{13}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 < $\frac{1}{13}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{13}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{13})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{13}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^{2}}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{13}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{5} (\frac{1}{13})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,001}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,001}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,001) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40 000 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40 000 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 000 000 \cdot 25)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $- 4 \lg (x) + 3 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{800} x^{2}) + \lg (2 x) + \lg (\frac{4}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{800} x^{2}) + \lg (2 x) + \lg (\frac{4}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{800} x^{2}) + \lg (2 x) + \lg (4 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (x^{2}) + (\lg (2) + \lg (x)) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}) + 2 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (800) + 2 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze