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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{32})$ = $- 5$ , eben weil $2$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\sqrt{19})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{19}$ um: $\sqrt{19}$ = $19^{\frac{1}{2}}$

$\log_{19} (\sqrt{19})$ = $\log_{19} (19^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $19^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $19^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{19} (\sqrt{19})$ = $\log_{19} (19^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $19$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{19}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (999 238)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $999 238$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $999 238$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $999 238$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $999 238$ .

Und da wir bei $\log_{10} (999 238)$ ja das ☐ von 10^☐ = $999 238$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $999 238$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (999 238)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 5)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) + 12 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $18 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 0 - \lg (\frac{1}{25}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 0 - \lg (1) + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze