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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{9})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{9}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ = $- \frac{9}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (9)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $9$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $9$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $9$ und auf $4^{2}$ = 4² > $9$ .

Und da wir bei $\log_{4} (9)$ ja das ☐ von 4^☐ = $9$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $9$ < $4^{2}$ = 4²

Es gilt somit: 1 < $\log_{4} (9)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (1 250)$ - $\log_{5} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (1 250)$ - $\log_{5} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{1250}{50})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{2})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{2})$
= $- \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (25 x) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (25 x) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{50} x^{- 3}) + \lg (25 x) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (25) + \lg (x)) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (50) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze