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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1000})$ = $- 3$ , eben weil $10$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (15)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $15$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $15$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $15$ .

Und da wir bei $\log_{3} (15)$ ja das ☐ von 3^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $15$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (15)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $7 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (16)$ + $\log_{4} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (16)$ + $\log_{4} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (16 \cdot 4)$

= $\log_{4} (64)$

= $\log_{4} (4^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{- 3})$
= $4 \lg (x) - 12 \lg (x)$
= $- 8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x^{4}) - \lg (\frac{1}{2 x}) - \lg (\frac{4 000}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2} x^{4}) - \lg (\frac{1}{2 x}) - \lg (\frac{4 000}{x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{4}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1}) - \lg (4000 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (4000) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (4000) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x) - \lg (4000) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x) - \lg (4 000) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (4 000) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze