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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

$\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{154})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{154}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{154}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{289}$ = $\frac{1}{17^{2}}$ = 17^-2 < $\frac{1}{154}$ und auf $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1 > $\frac{1}{154}$ .

Und da wir bei $\log_{17} (\frac{1}{154})$ ja das ☐ von 17^☐ = $\frac{1}{154}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
17^-2 = $\frac{1}{17^{2}}$ = $\frac{1}{289}$ < $\frac{1}{154}$ < $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{17} (\frac{1}{154})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - \lg (x)$
= $10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{16} (1 024)$ - $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{16} (1 024)$ - $\log_{16} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{16} (\frac{1024}{4})$

= $\log_{16} (256)$

= $\log_{16} (16^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25} x^{7}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{50}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25} x^{7}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{50}{x^{4}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{7}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (50 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{7})) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) - (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{7}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) - \lg (50) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) - 7 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (50) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) - 7 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (50) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze