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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{64})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (1 864 423)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $1 864 423$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $1 864 423$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $1 864 423$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $1 864 423$ .

Und da wir bei $\log_{10} (1 864 423)$ ja das ☐ von 10^☐ = $1 864 423$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $1 864 423$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (1 864 423)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $3 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5}{50})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (\frac{1}{125 x}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (\frac{1}{125 x}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (\frac{1}{125} x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (125) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze