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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\sqrt[4]{18})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{18}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\sqrt[4]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{18}$ als $18^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$ ^☐ = $18^{\frac{1}{4}}$

$\log_{18} (\sqrt[4]{18})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $18$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{18}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{15} (4 500)$ - $\log_{15} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{15} (4 500)$ - $\log_{15} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{15} (\frac{4500}{20})$

= $\log_{15} (225)$

= $\log_{15} (15^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{4})$
= $4 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{4})$
= $2 \lg (x) + 3 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $9 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{1}{62 500 x^{2}}) + \lg (25)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{1}{62 500 x^{2}}) + \lg (25)$

= $\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{1}{62500} x^{- 2}) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{62500}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (1))$

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{62500}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{62500}) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (62 500) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 0$

= $- \lg (62 500) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{62500} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze