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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{128})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{128})$ = $- 7$ , eben weil $2$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (2)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (2)$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{4})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{4}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{4}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{4})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{5} (\frac{1}{4})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (80)$ - $\log_{4} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (80)$ - $\log_{4} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{80}{5})$

= $\log_{4} (16)$

= $\log_{4} (4^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $6 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{11}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{12500} x^{3}) + \lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{1}{50} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{12500} x^{3}) + \lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{1}{50} x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{12500} x^{3}) + \lg (25 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{50} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x^{3}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}) + 3 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (12 500) + 3 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (12 500) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze