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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (5)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $5$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^{2}$ = 3² > $5$ .

Und da wir bei $\log_{3} (5)$ ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (5)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $6 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{40}{4})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + 2 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{5}{x^{6}}) - \lg (\frac{250 000}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{5}{x^{6}}) - \lg (\frac{250 000}{x^{2}})$

= $\lg (50 x^{4}) + \lg (5 x^{- 6}) - \lg (250 000 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{4}) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) - (\lg (250 000) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (250 000) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (5) - 6 \lg (x) - \lg (250 000) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (5) - 6 \lg (x) - \lg (250 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (250 000) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze