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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (125)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$

$\log_{25} (125)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (125)$ = $\log_{25} (25^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (64)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $64$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $64$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $64$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $64$ .

Und da wir bei $\log_{3} (64)$ ja das ☐ von 3^☐ = $64$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $64$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (64)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x}) - \lg (250 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x}) - \lg (250 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$

= $\lg (5 x^{- 1}) - \lg (250 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (250) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (250) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - \lg (x) - \lg (250) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (x) - \lg (250) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (250) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250} \cdot 5 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze