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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (196)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (196)$ = $2$ , eben weil $14$ ^$2$ = $196$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{289})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (\frac{1}{289})$ = $- 2$ , eben weil $17$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{289}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\sqrt{14})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{14}$ um: $\sqrt{14}$ = $14^{\frac{1}{2}}$

$\log_{14} (\sqrt{14})$ = $\log_{14} (14^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $14^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $14^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{14} (\sqrt{14})$ = $\log_{14} (14^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $14$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{14}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (109)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $109$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $109$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $109$ und auf $13^{2}$ = 13² > $109$ .

Und da wir bei $\log_{13} (109)$ ja das ☐ von 13^☐ = $109$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $109$ < $13^{2}$ = 13²

Es gilt somit: 1 < $\log_{13} (109)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{11} (121 x) - \log_{11} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{11} (121 x) - \log_{11} (x)$
= $\log_{11} (121) + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $\log_{11} (11^{2}) + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $2 + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 2)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (x^{4}) + 4 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (x^{4}) + 4 \lg (\sqrt{x})$
= $- 2 \lg (x^{- 3}) + 2 \lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $6 \lg (x) + 8 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $16 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{1}{40 x^{3}}) + \lg (2 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{1}{40 x^{3}}) + \lg (2 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{- 3}) + \lg (2 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze