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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{18}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $18^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{18}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (4)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $4$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $4$ und auf $3^{2}$ = 3² > $4$ .

Und da wir bei $\log_{3} (4)$ ja das ☐ von 3^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $4$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (4)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $6 - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 000 \cdot 20)$

= $\lg (100 000 000)$

= $\lg (10^{8})$

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 3})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{5 000 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (20 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{5 000 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (20 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{5000} x^{- 5}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) + \lg (20 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (5 000) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (5 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze