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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

$\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{\sqrt{15}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{15}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{15}}$ = $15^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{15} (\frac{1}{\sqrt{15}})$ = $\log_{15} (15^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $15^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $15^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{15} (\frac{1}{\sqrt{15}})$ = $\log_{15} (15^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $15$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{15}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{18} (130)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $18$ er-Potenzen in der Näher von $130$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $130$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $130$ und auf $18^{2}$ = 18² > $130$ .

Und da wir bei $\log_{18} (130)$ ja das ☐ von 18^☐ = $130$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $130$ < $18^{2}$ = 18²

Es gilt somit: 1 < $\log_{18} (130)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (9 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (9 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (9) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{2}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $2 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,04)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,04)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.04}{4})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50} x^{5}) + \lg (\frac{1}{100.000} x) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50} x^{5}) + \lg (\frac{1}{100.000} x) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{5})) + (\lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x)) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{5}) + \lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100 000) + \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (100 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze