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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 (1000000) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1000000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1000000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1000000 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 (1000000) = 6, eben weil 106 = 1000000 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 19 ( 1 361 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 361 zur Basis 19, also die Hochzahl mit der man 19 potenzieren muss, um auf 1 361 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 19 = 1 361 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 19-Potenz zu schreiben versuchen, also 19 = 1 361

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 19 ( 1 361 ) = -2, eben weil 19-2 = 1 361 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 32 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 32 um: 1 32 = 32 -1

Man kann erkennen, dass 32 eine Potenz ist: 32 = 2 5

Also schreiben wir 1 32 = 32 -1 = ( 2 5 ) -1 = 2 -5

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 -5 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 -5 = ( 4 1 2 ) -5 = 4 - 5 2

log 4 ( 1 32 ) = log 4 ( 2 -5 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 -5 = 4 - 5 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 -5 = 4 - 5 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 2 -5 = 4 - 5 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 32 ) = log 4 ( 2 -5 ) = log 4 ( 4 - 5 2 ) = - 5 2 , eben weil 4 - 5 2 = 1 32 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 14 (178) liegt.

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Wir suchen 14er-Potenzen in der Näher von 178, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 178 ist.

Dabei kommt man auf 14 = 141 < 178 und auf 14 2 = 142 > 178.

Und da wir bei log 14 (178) ja das ☐ von 14 = 178 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
141 = 14 < 178 < 14 2 = 142

Es gilt somit: 1 < log 14 (178) < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache log 12 ( 144x ) - log 12 ( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
log 12 ( 144x ) - log 12 ( x )
= log 12 ( 144 ) + log 12 ( x ) - log 12 ( x )
= log 12 ( 12 2 ) + log 12 ( x ) - log 12 ( x )
= 2 + log 12 ( x ) - log 12 ( x )
= 2

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 5 ( 5 ) - log 5 ( 5 ) .

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log 5 ( 5 ) - log 5 ( 5 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 5 ( 5 5 )

= log 5 ( 1 )

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) +4 lg( x 2 ) + lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x ) +4 lg( x 2 ) + lg( 1 x )
= lg( x -1 ) +4 lg( x 2 ) + lg( x - 1 2 )
= - lg( x ) +8 lg( x ) - 1 2 lg( x )
= 13 2 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 4 x 5 ) - lg( 20 ) + lg( 5 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 4 x 5 ) - lg( 20 ) + lg( 5 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 4 ) + lg( x 5 ) ) - ( lg( 20 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 3 ) )

= - lg( 1 4 ) - lg( x 5 ) - lg( 20 ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 4 ) -5 lg( x ) - lg( 20 ) +0 + lg( 5 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 4 ) -5 lg( x ) - lg( 20 ) +0 + lg( 5 ) +3 lg( x )

= -2 lg( x ) - lg( 20 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -2 lg( x ) + lg( 1 20 · 5 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 )

= -2 lg( x )