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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{256})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $16$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{16} (\frac{1}{256})$ = $- 2$ , eben weil $16$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{513.991})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{513.991}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{513.991}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6 < $\frac{1}{513.991}$ und auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{10^{5}}$ = 10^-5 > $\frac{1}{513.991}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{513.991})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{513.991}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
10^-6 = $\frac{1}{10^{6}}$ = $\frac{1}{1000000}$ < $\frac{1}{513.991}$ < $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{10^{5}}$ = 10^-5

Es gilt somit: -6 < $\log_{10} (\frac{1}{513.991})$ < -5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) + \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (30)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (30)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{30}{3})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1 000 000 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) + \lg (50 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1 000 000 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) + \lg (50 x)$

= $- \lg (1 000 000 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2}) + \lg (50 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1 000 000) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (50) + \lg (x))$

= $- \lg (1 000 000) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1 000 000) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000 000) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

= $- \lg (1 000 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1.000.000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze