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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{9})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{9}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ = $- \frac{9}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (75986)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $75986$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $75986$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{4}$ = 10⁴ < $75986$ und auf $10^{5}$ = 10⁵ > $75986$ .

Und da wir bei $\log_{10} (75986)$ ja das ☐ von 10^☐ = $75986$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = $10^{4}$ < $75986$ < $10^{5}$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < $\log_{10} (75986)$ < 5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{16} (256 x) - \log_{16} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{16} (256 x) - \log_{16} (x)$
= $\log_{16} (256) + \log_{16} (x) - \log_{16} (x)$
= $\log_{16} (16^{2}) + \log_{16} (x) - \log_{16} (x)$
= $2 + \log_{16} (x) - \log_{16} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 3})$
= $6 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{3}}) + \lg (2 x^{4}) - \lg (10000 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{3}}) + \lg (2 x^{4}) - \lg (10000 x)$

= $\lg (5 x^{- 3}) + \lg (2 x^{4}) - \lg (10000 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (2) + \lg (x^{4})) - (\lg (10000) + \lg (x))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (x^{4}) - \lg (10000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) - \lg (10000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) - \lg (10 000) - \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze