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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

$\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{8}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (4 000 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (4 000 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4 000 000 \cdot 25)$

= $\lg (100 000 000)$

= $\lg (10^{8})$

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{2}}) + \lg (50 x^{3}) - \lg (100 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x^{2}}) + \lg (50 x^{3}) - \lg (100 x)$

= $\lg (20 x^{- 2}) + \lg (50 x^{3}) - \lg (100 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (50) + \lg (x^{3})) - (\lg (100) + \lg (x))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (50) + \lg (x^{3}) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 2 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 2 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

= $- \lg (100) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze