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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 1}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{30})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{30}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{30}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{30}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{30}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{30})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{30}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{30}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{30})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100 000}{x}) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100 000}{x}) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $5 - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{13} (338)$ - $\log_{13} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{13} (338)$ - $\log_{13} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{13} (\frac{338}{2})$

= $\log_{13} (169)$

= $\log_{13} (13^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{3})$
= $3 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) + 12 \lg (x)$
= $\frac{29}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{4 x^{2}}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{4}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{4 x^{2}}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{4}{x})$

= $\lg (\frac{5}{4} x^{- 2}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (4 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{5}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{4}) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze