Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{8})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{- 1}$ = ${(2^{3})}^{- 1}$ = $2^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 3}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{8})$ = $\log_{4} (2^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{8})$ = $\log_{4} (2^{- 3})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{147})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{147}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{147}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{13^{2}}$ = 13^-2 < $\frac{1}{147}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{147}$ .

Und da wir bei $\log_{13} (\frac{1}{147})$ ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{147}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{13^{2}}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{147}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{13} (\frac{1}{147})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $1 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,03)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,03)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.03}{3})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{4})$
= $- 2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{200} x^{2}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{50}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{200} x^{2}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{50}{x})$

= $\lg (\frac{1}{200} x^{2}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (50 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (x^{4})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{4}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200}) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (200) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze