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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 (16) .

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Wir suchen den Logarithmus von 16 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 16 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4☐ = 16 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 4 (16) = 2, eben weil 42 = 16 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 3 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 3 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3☐ = 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 3 als 3 1 2 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 3☐ = 3 1 2

log 3 ( 3 ) = 1 2 , eben weil 3 1 2 = 3 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 2 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 2 um: 1 2 = 2 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 -1 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 -1 = ( 4 1 2 ) -1 = 4 - 1 2

log 4 ( 1 2 ) = log 4 ( 2 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 -1 = 4 - 1 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 -1 = 4 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4☐ = 2 -1 = 4 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 2 ) = log 4 ( 2 -1 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 4 - 1 2 = 1 2 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 (4) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 4, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 4 ist.

Dabei kommt man auf 1 = 50 < 4 und auf 5 = 51 > 4.

Und da wir bei log 5 (4) ja das ☐ von 5☐ = 4 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
50 = 1 < 4 < 5 = 51

Es gilt somit: 0 < log 5 (4) < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10000000x ) - lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10000000x ) - lg( x )
= lg( 10000000 ) + lg( x ) - lg( x )
= lg( 10 7 ) + lg( x ) - lg( x )
= 7 + lg( x ) - lg( x )
= 7

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 20000000 ) + lg( 5 ) .

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lg( 20000000 ) + lg( 5 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 20000000 · 5 )

= lg( 100000000 )

= lg( 10 8 )

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 2 ) + lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 2 ) + lg( 1 x 2 )
= lg( x 2 ) + lg( x -2 )
= 2 lg( x ) -2 lg( x )
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 4 x 4 ) - lg( 1 20 x 2 ) + lg( 2 x 6 ) soweit wie möglich.

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- lg( 4 x 4 ) - lg( 1 20 x 2 ) + lg( 2 x 6 )

= - lg( 4 x -4 ) - lg( 1 20 x -2 ) + lg( 2 x -6 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 4 ) + lg( 1 x 4 ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 2 ) + lg( 1 x 6 ) )

= - lg( 4 ) - lg( 1 x 4 ) - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 2 ) + lg( 1 x 6 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 4 ) +4 lg( x ) - lg( 1 20 ) +2 lg( x ) + lg( 2 ) -6 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 4 ) +4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) +2 lg( x ) + lg( 2 ) -6 lg( x )

= lg( 20 ) - lg( 4 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 20 4 · 2 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1