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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $2$^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$-Potenz zu schreiben versuchen, also $15$^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $15$^$-2$ = $\frac{1}{225}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $211$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $211$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $211$ und auf ${17}^2$ = 17² > $211$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $211$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $211$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(1000x\right)+3\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(2\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(200\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{200}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(125x^3\right)+\lg \left(2\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(125x^3\right)+\lg \left(2\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(125x^3\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(125\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(125\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(125\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(125\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (125·4·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$