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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt[3]{15})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{15}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{15}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\sqrt[3]{15}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{15}$ als $15^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{3}}$

$\log_{15} (\sqrt[3]{15})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{15}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{361} (19)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = $361^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = $361^{\frac{1}{2}}$

$\log_{361} (19)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$ ^☐ = $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{361} (19)$ = $\log_{361} (361^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $361$ ^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{2})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{2})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,003)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,003)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.003}{3})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 6 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{13}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2})$

= $\lg (2 x^{3}) + \lg (2 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (4) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze