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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{64}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (35)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $35$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $35$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{5}$ = 2⁵ < $35$ und auf $2^{6}$ = 2⁶ > $35$ .

Und da wir bei $\log_{2} (35)$ ja das ☐ von 2^☐ = $35$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^{5}$ < $35$ < $2^{6}$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{2} (35)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (4 000 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (4 000 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4 000 000 \cdot 25)$

= $\lg (100 000 000)$

= $\lg (10^{8})$

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{- 3}) + 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 12 \lg (x) + \lg (x)$
= $- 11 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{10 000}{x^{4}}) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{10 000}{x^{4}}) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$

= $\lg (4 x^{- 1}) - \lg (10000 x^{- 4}) + \lg (25 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (10000) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (10000) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (10000) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (10 000) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 25 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze