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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{64})$ = $- 6$ , eben weil $2$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (128)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{7}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$

$\log_{4} (128)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (128)$ = $\log_{4} (4^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{6788})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6788}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6788}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{6788}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{6788}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{6788})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{6788}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{6788}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{6788})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 000 \cdot 2)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{- 3})$
= $12 \lg (x) + 2 \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $20 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (\frac{25}{4} x^{2}) + \lg (4 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (\frac{25}{4} x^{2}) + \lg (4 x^{4})$

= $\lg (4 x^{- 6}) + \lg (\frac{25}{4} x^{2}) + \lg (4 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (\frac{25}{4}) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (\frac{25}{4}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{25}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (25) - \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 4)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze