Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{-1}$ = ${\left(2^3\right)}^{-1}$ = $2^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-3}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-3}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{9.666.025}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{9.666.025}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{{10}^7}$ = 10^-7 < $\frac{1}{\mathrm{9.666.025}}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6 > $\frac{1}{\mathrm{9.666.025}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{9.666.025}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{{10}^7}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{9.666.025}}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{{10}^6}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < < -6

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $10-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{500x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{500}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$