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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (144)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (144)$ = $2$ , eben weil $12$ ^$2$ = $144$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{361})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (\frac{1}{361})$ = $- 2$ , eben weil $19$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{361}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{153})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{153}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{153}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{225}$ = $\frac{1}{15^{2}}$ = 15^-2 < $\frac{1}{153}$ und auf $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1 > $\frac{1}{153}$ .

Und da wir bei $\log_{15} (\frac{1}{153})$ ja das ☐ von 15^☐ = $\frac{1}{153}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
15^-2 = $\frac{1}{15^{2}}$ = $\frac{1}{225}$ < $\frac{1}{153}$ < $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{15} (\frac{1}{153})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,1}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,1}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0,1) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 1 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10} x^{2}) + \lg (\frac{2}{x^{6}}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{10} x^{2}) + \lg (\frac{2}{x^{6}}) + \lg (5 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{10} x^{2}) + \lg (2 x^{- 6}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 6 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 6 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze