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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{196} (\frac{1}{14})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{14}$ um: $\frac{1}{14}$ = $14^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = $196^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $14^{- 1}$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14^{- 1}$ = ${(196^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$ ^☐ = $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ = $\log_{196} (196^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $196$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{14}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (90)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $90$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $90$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $90$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $90$ .

Und da wir bei $\log_{2} (90)$ ja das ☐ von 2^☐ = $90$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $90$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (90)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - \lg (x)$
= $9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (36)$ - $\log_{3} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (36)$ - $\log_{3} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{36}{4})$

= $\log_{3} (9)$

= $\log_{3} (3^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 3})$
= $4 \lg (x) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{10 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{10 x})$

= $\lg (4 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{10} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) - \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze