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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (4 061 071)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $4 061 071$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4 061 071$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $4 061 071$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $4 061 071$ .

Und da wir bei $\log_{10} (4 061 071)$ ja das ☐ von 10^☐ = $4 061 071$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $4 061 071$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (4 061 071)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - \lg (x)$
= $10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 2}) - 2 \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x) - \lg (10 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x) - \lg (10 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)) - (\lg (10) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) - \lg (10) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) - \lg (10) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - \lg (x) - \lg (10) - 2 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (10) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10} \cdot 5)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze