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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000)$ = $5$ , eben weil $10$ ^$5$ = $100 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als $10^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{5}}$

$\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (114)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $114$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $114$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $114$ und auf $19^{2}$ = 19² > $114$ .

Und da wir bei $\log_{19} (114)$ ja das ☐ von 19^☐ = $114$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $114$ < $19^{2}$ = 19²

Es gilt somit: 1 < $\log_{19} (114)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 \cdot 25)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 3 \lg (x) - 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{8}{x^{5}}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{8}{x^{5}}) + \lg (5 x^{3})$

= $\lg (25 x^{2}) + \lg (8 x^{- 5}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) + (\lg (8) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) + \lg (8) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (8) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (8) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (8) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 8 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze