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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\sqrt{11})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{11}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{11}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\sqrt{11}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $11$ ^☐ = $11^{\frac{1}{2}}$

$\log_{11} (\sqrt{11})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $11$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{11}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{169} (13)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = $169^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $13$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13$ = $169^{\frac{1}{2}}$

$\log_{169} (13)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$ ^☐ = $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{169} (13)$ = $\log_{169} (169^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $169$ ^{$\frac{1}{2}$} = $13$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 000 \cdot 2)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 3})$
= $\lg (x) + 2 \lg (x) - 3 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3}) - \lg (10 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3}) - \lg (10 x)$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3}) - \lg (10 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{3})) - (\lg (10) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{3}) - \lg (10) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 3 \lg (x) - \lg (10) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 3 \lg (x) - \lg (10) - \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze