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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 14 (196) .

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Wir suchen den Logarithmus von 196 zur Basis 14, also die Hochzahl mit der man 14 potenzieren muss, um auf 196 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 14 = 196 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 14 (196) = 2, eben weil 142 = 196 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 10000 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 10000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 10000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 10000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 10000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 10000 ) = -4, eben weil 10-4 = 1 10000 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 9 ( 1 3 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 3 um: 1 3 = 3 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis 9 suchen und 9 gerade 3² ist (also 3 = 9 = 9 1 2 ), formen wir 3 -1 noch so um, dass sie 9 als Basis hat:

3 -1 = ( 9 1 2 ) -1 = 9 - 1 2

log 9 ( 1 3 ) = log 9 ( 3 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 -1 = 9 - 1 2 zur Basis 9 suchen, also die Hochzahl mit der man 9 potenzieren muss, um auf 3 -1 = 9 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 9 = 3 -1 = 9 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 9 ( 1 3 ) = log 9 ( 3 -1 ) = log 9 ( 9 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 9 - 1 2 = 1 3 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 14 ( 1 132 ) liegt.

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Wir suchen 14er-Potenzen in der Näher von 1 132 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 132 ist.

Dabei kommt man auf 1 196 = 1 14 2 = 14-2 < 1 132 und auf 1 14 = 1 14 = 14-1 > 1 132 .

Und da wir bei log 14 ( 1 132 ) ja das ☐ von 14 = 1 132 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14-2 = 1 14 2 = 1 196 < 1 132 < 1 14 = 1 14 = 14-1

Es gilt somit: -2 < log 14 ( 1 132 ) < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100000000x ) +3 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100000000x ) +3 lg( x )
= lg( 100000000 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= lg( 10 8 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= 8 + lg( x ) +3 lg( x )
= 4 lg( x ) +8

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 5 ( 10 ) - log 5 ( 2 ) .

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log 5 ( 10 ) - log 5 ( 2 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 5 ( 10 2 )

= log 5 ( 5 )

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) + lg( 1 x 3 ) + lg( x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x ) + lg( 1 x 3 ) + lg( x 3 )
= lg( x -1 ) + lg( x -3 ) + lg( x 3 )
= - lg( x ) -3 lg( x ) +3 lg( x )
= - lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 4 x ) + lg( 50 x 5 ) - lg( 1 5 x 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 4 x ) + lg( 50 x 5 ) - lg( 1 5 x 4 )

= - lg( 1 4 x -1 ) + lg( 50 x -5 ) - lg( 1 5 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 4 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 5 ) ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 4 ) )

= - lg( 1 4 ) - lg( 1 x ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 5 ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 4 ) + lg( x ) + lg( 50 ) -5 lg( x ) - lg( 1 5 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 4 ) + lg( x ) + lg( 50 ) -5 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) +4 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3