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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 1}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{4})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 < $\frac{1}{4}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{4}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{4})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{3} (\frac{1}{4})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x})$
= $2 \lg (x^{- 1})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (5 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (4 x^{- 1}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze