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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\sqrt[3]{19})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{19}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\sqrt[3]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{19}$ als $19^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$ ^☐ = $19^{\frac{1}{3}}$

$\log_{19} (\sqrt[3]{19})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $19$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{19}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{18}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $18^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{18}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{39})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{39}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{39}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^{3}}$ = 4^-3 < $\frac{1}{39}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 > $\frac{1}{39}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{39})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{39}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^{3}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{39}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{4} (\frac{1}{39})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $4 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{20}{2})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{4})$
= $- 3 \lg (x) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (5 x^{3}) - \lg (20000 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (5 x^{3}) - \lg (20000 x)$

= $\lg (4 x^{- 2}) + \lg (5 x^{3}) - \lg (20000 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (5) + \lg (x^{3})) - (\lg (20000) + \lg (x))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (x^{3}) - \lg (20000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (20000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (20 000) - \lg (x)$

= $- \lg (20 000) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000} \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze