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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\sqrt{13})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = $13^{\frac{1}{2}}$

$\log_{13} (\sqrt{13})$ = $\log_{13} (13^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $13^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $13^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{13} (\sqrt{13})$ = $\log_{13} (13^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $13$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (66)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $66$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $66$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $66$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $66$ .

Und da wir bei $\log_{3} (66)$ ja das ☐ von 3^☐ = $66$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $66$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (66)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{16} (512)$ - $\log_{16} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{16} (512)$ - $\log_{16} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{16} (\frac{512}{2})$

= $\log_{16} (256)$

= $\log_{16} (16^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x) - 4 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{50 x^{6}}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{50 x^{6}}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (2 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{50} x^{- 6}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (25) + \lg (x^{3})) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) - 6 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze