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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 1}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{144})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $16$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{144}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{144}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{16^{2}}$ = 16^-2 < $\frac{1}{144}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1 > $\frac{1}{144}$ .

Und da wir bei $\log_{16} (\frac{1}{144})$ ja das ☐ von 16^☐ = $\frac{1}{144}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
16^-2 = $\frac{1}{16^{2}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{144}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{16} (\frac{1}{144})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{11} (121 x) - \log_{11} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{11} (121 x) - \log_{11} (x)$
= $\log_{11} (121) + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $\log_{11} (11^{2}) + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $2 + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 5)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{7}}) + \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (5 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{7}}) + \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (5 x)$

= $\lg (5 x^{- 7}) + \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (5 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3})) + (\lg (5) + \lg (x))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 7 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 7 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze