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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 \cdot 25)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (x^{4})$
= $2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{4})$
= $- 4 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) + 8 \lg (x)$
= $\frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) - \lg (\frac{10 000}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) - \lg (\frac{10 000}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 2}) + \lg (2 x^{- 3}) - \lg (10000 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (10000) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (10000) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (10000) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (10 000) + \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze