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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als $10^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{5}}$

$\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$ = ${(5^{3})}^{- 1}$ = $5^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{2})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{2})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 \cdot 20)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{2}{5} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{2}{5} x^{2})$

= $\lg (2 x^{3}) + \lg (20 x^{- 1}) - \lg (\frac{2}{5} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{2}{5}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{2}{5}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (\frac{2}{5}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (2) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze