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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{157})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{157}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{157}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{13^{2}}$ = 13^-2 < $\frac{1}{157}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{157}$ .

Und da wir bei $\log_{13} (\frac{1}{157})$ ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{157}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{13^{2}}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{157}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{13} (\frac{1}{157})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (1 250)$ - $\log_{5} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (1 250)$ - $\log_{5} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{1250}{50})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{- 3})$
= $4 \lg (x) - 6 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (25 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + 0 + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (50) + 0 + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (50) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze