Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{196})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (\frac{1}{196})$ = $- 2$ , eben weil $14$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{196}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (15)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $15$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $15$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $15$ .

Und da wir bei $\log_{2} (15)$ ja das ☐ von 2^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $15$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (15)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{2000}{20})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{- 2})$
= $2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (40 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (40 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5})$

= $\lg (5 x^{- 2}) + \lg (40 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (40) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (1))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (40) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (40) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (40) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 0$

= $\lg (40) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (40 \cdot 5 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze