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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{2.921.424})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2.921.424}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2.921.424}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7 < $\frac{1}{2.921.424}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6 > $\frac{1}{2.921.424}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{2.921.424})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{2.921.424}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{10^{7}}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{2.921.424}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < $\log_{10} (\frac{1}{2.921.424})$ < -6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,01}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,01}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,01) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 2 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (16)$ + $\log_{4} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (16)$ + $\log_{4} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (16 \cdot 4)$

= $\log_{4} (64)$

= $\log_{4} (4^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (x^{3})$
= $2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 1}) - 2 \lg (x^{3})$
= $- 6 \lg (x) - \lg (x) - 6 \lg (x)$
= $- 13 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{800}{x^{4}}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{800}{x^{4}}) + \lg (4 x)$

= $\lg (20 x^{- 5}) - \lg (800 x^{- 4}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (800) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (800) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (800) + 4 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (800) + 4 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze