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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{64})$ = $- 3$ , eben weil $4$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{21})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{21}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{21}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 < $\frac{1}{21}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{21}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{21})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{21}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^{2}}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{21}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{5} (\frac{1}{21})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,5)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,5)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.5}{5})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{- 1})$
= $4 \lg (x) + 2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{7}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{7}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{2}) + \lg (25 x^{- 7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{7}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{7}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{1250}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 250) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 7 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze