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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{16}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{16}}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{16}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{14})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{14}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{14}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 < $\frac{1}{14}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3 > $\frac{1}{14}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{14})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{14}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^{4}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{14}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{2} (\frac{1}{14})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $6 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $- 3 \lg (x) + 3 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{2 500 x}) + \lg (50 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{50}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{2 500 x}) + \lg (50 x^{3})$

= $\lg (50 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{2500} x^{- 1}) + \lg (50 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (50) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2500}) - \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 500) - \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze