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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{324})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{18} (\frac{1}{324})$ = $- 2$ , eben weil $18$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{324}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $12^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (178)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $178$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $178$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{7}$ = 2⁷ < $178$ und auf $2^{8}$ = 2⁸ > $178$ .

Und da wir bei $\log_{2} (178)$ ja das ☐ von 2^☐ = $178$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^{7}$ < $178$ < $2^{8}$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{2} (178)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (160)$ - $\log_{2} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (160)$ - $\log_{2} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{160}{20})$

= $\log_{2} (8)$

= $\log_{2} (2^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{4}) - \lg (\frac{5}{4} x) - \lg (\frac{1}{50} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{4}) - \lg (\frac{5}{4} x) - \lg (\frac{1}{50} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{5}{4}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{5}{4}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (5) + \lg (4) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (25) - \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 25}{5} \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze