Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (2)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (2)$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{18})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{18}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{18}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5 < $\frac{1}{18}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 > $\frac{1}{18}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{18})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{18}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
2^-5 = $\frac{1}{2^{5}}$ = $\frac{1}{32}$ < $\frac{1}{18}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4

Es gilt somit: -5 < $\log_{2} (\frac{1}{18})$ < -4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (5 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (5 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $1 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{2})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{- 3})$
= $6 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{500}{x}) + \lg (\frac{20}{x^{8}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{500}{x}) + \lg (\frac{20}{x^{8}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (500 x^{- 1}) + \lg (20 x^{- 8})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (500) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{8}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (500) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{8}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (500) + \lg (x) + \lg (20) - 8 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (500) + \lg (x) + \lg (20) - 8 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (500) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 20)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze