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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1 000 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1 000 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1 000 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1 000 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1 000 000 000)$ = $9$ , eben weil $10$ ^$9$ = $1 000 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{225} (15)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = $225^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $15$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15$ = $225^{\frac{1}{2}}$

$\log_{225} (15)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15$ = $225^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15$ = $225^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$ ^☐ = $15$ = $225^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{225} (15)$ = $\log_{225} (225^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $225$ ^{$\frac{1}{2}$} = $15$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,5)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,5)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.5}{5})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) + 2 \lg (x) - \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{50}{x}) - \lg (\frac{12 500}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{50}{x}) - \lg (\frac{12 500}{x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (50 x^{- 1}) - \lg (12500 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (12500) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (12500) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) - \lg (12500) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) - \lg (12 500) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (12 500) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze