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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1 000 000)$ = $6$ , eben weil $10$ ^$6$ = $1 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{18}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $18^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{18}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (34)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $34$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $34$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{5}$ = 2⁵ < $34$ und auf $2^{6}$ = 2⁶ > $34$ .

Und da wir bei $\log_{2} (34)$ ja das ☐ von 2^☐ = $34$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^{5}$ < $34$ < $2^{6}$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{2} (34)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (32 x) - \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (32 x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (32) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{5}) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $5 + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,03)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,03)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.03}{3})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{400} x^{2}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{400} x^{2}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{400} x^{2}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (20 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{2}) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (20) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (400) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (20) - 3 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze