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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{11}$ um: $\sqrt{11}$ = ${11}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${11}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $11$ suchen, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf ${11}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = ${11}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $11$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(0.00001x\right)+4\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(500000\right)$ + $\lg \left(2\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(500000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000·2)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^3\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(2x^4\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+0+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+0+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (10·5·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$