Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (8)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{3}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (8)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (8)$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $8$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (79)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $79$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $79$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $79$ und auf $14^{2}$ = 14² > $79$ .

Und da wir bei $\log_{14} (79)$ ja das ☐ von 14^☐ = $79$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $79$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (79)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (100)$ - $\log_{5} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (100)$ - $\log_{5} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{100}{4})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{6}) + \lg (\frac{5}{4} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{6}) + \lg (\frac{5}{4} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{6})) + (\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{6}) + \lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{5}{4}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (5) - \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze