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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = $15^{\frac{1}{2}}$

$\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $15^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{8})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 < $\frac{1}{8}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{8}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{8})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{8}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^{2}}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{5} (\frac{1}{8})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5000}{50})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{50}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{50}{x^{2}})$

= $\lg (2 x^{4}) + \lg (25 x^{- 1}) - \lg (50 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (50) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (50) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (50) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze