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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ = $- 9$ , eben weil $10$ ^{$- 9$} = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{225} (\frac{1}{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = $15^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = $225^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $15^{- 1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15^{- 1}$ = ${(225^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$ ^☐ = $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ = $\log_{225} (225^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $225$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (6)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $6$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $6$ und auf $3^{2}$ = 3² > $6$ .

Und da wir bei $\log_{3} (6)$ ja das ☐ von 3^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $6$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (6)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 \cdot 20)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\frac{9}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100 x^{7}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100 x^{7}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{- 7}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) - 7 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) - 7 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 0 - \lg (1) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze