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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{128})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{128}$ um: $\frac{1}{128}$ = $128^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{128}$ = $128^{- 1}$ = ${(2^{7})}^{- 1}$ = $2^{- 7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 7}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{128})$ = $\log_{4} (2^{- 7})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{128})$ = $\log_{4} (2^{- 7})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (157)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $157$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $157$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $157$ und auf $15^{2}$ = 15² > $157$ .

Und da wir bei $\log_{15} (157)$ ja das ☐ von 15^☐ = $157$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $157$ < $15^{2}$ = 15²

Es gilt somit: 1 < $\log_{15} (157)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (108)$ - $\log_{3} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (108)$ - $\log_{3} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{108}{4})$

= $\log_{3} (27)$

= $\log_{3} (3^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 1})$
= $- 2 \lg (x) - \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (100 x^{2}) + \lg (25 x^{5}) + \lg (4 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (100 x^{2}) + \lg (25 x^{5}) + \lg (4 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (x^{5})) + (\lg (4) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (100) - \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (x^{5}) + \lg (4) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 5 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 5 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze