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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\sqrt{18})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{18}$ um: $\sqrt{18}$ = $18^{\frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\sqrt{18})$ = $\log_{18} (18^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\sqrt{18})$ = $\log_{18} (18^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{304.140})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{304.140}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{304.140}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6 < $\frac{1}{304.140}$ und auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{10^{5}}$ = 10^-5 > $\frac{1}{304.140}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{304.140})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{304.140}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
10^-6 = $\frac{1}{10^{6}}$ = $\frac{1}{1000000}$ < $\frac{1}{304.140}$ < $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{10^{5}}$ = 10^-5

Es gilt somit: -6 < $\log_{10} (\frac{1}{304.140})$ < -5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{18} (324 x) - \log_{18} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{18} (324 x) - \log_{18} (x)$
= $\log_{18} (324) + \log_{18} (x) - \log_{18} (x)$
= $\log_{18} (18^{2}) + \log_{18} (x) - \log_{18} (x)$
= $2 + \log_{18} (x) - \log_{18} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (25 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{3})$
= $- 3 \lg (x) + 3 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{4}) - \lg (8) + \lg (20 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4} x^{4}) - \lg (8) + \lg (20 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{4})) - (\lg (8) + \lg (1)) + (\lg (20) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{4}) - \lg (8) - \lg (1) + \lg (20) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 4 \lg (x) - \lg (8) + 0 + \lg (20) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 4 \lg (x) - \lg (8) + 0 + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (8) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze