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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ = $- 5$ , eben weil $10$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{256} (16)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = $256^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $16$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

$16$ = $256^{\frac{1}{2}}$

$\log_{256} (16)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$ ^☐ = $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{256} (16)$ = $\log_{256} (256^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $256$ ^{$\frac{1}{2}$} = $16$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (29)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $29$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $29$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $29$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $29$ .

Und da wir bei $\log_{5} (29)$ ja das ☐ von 5^☐ = $29$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $29$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (29)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (300)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (300)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{300}{3})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{- 2})$
= $- \lg (x) - 8 \lg (x)$
= $- 9 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{1 000 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{1 000 x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 4}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{1000} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (20) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (20) + \lg (1) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 0 + \lg (\frac{1}{1000}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 0 + \lg (1) - \lg (1 000) - 3 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze