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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

$\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = $125^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = $125^{\frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{125})$ = $\log_{5} (5^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{125})$ = $\log_{5} (5^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{37})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{37}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{37}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{37}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{37}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{37})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{37}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{37}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{37})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (18)$ - $\log_{3} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (18)$ - $\log_{3} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{18}{2})$

= $\log_{3} (9)$

= $\log_{3} (3^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1}) + 2 \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (400 x^{6}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (2 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (400 x^{6}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (2 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (400) + \lg (x^{6})) + (\lg (2) + \lg (x^{4})) + (\lg (2) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (400) - \lg (x^{6}) + \lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (2) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (400) - 6 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (400) - 6 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (400) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze