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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (2 088 262)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $2 088 262$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2 088 262$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $2 088 262$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $2 088 262$ .

Und da wir bei $\log_{10} (2 088 262)$ ja das ☐ von 10^☐ = $2 088 262$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $2 088 262$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (2 088 262)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 \cdot 5)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $4 \lg (x) - 3 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (2 x) - \lg (8 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (2 x) - \lg (8 x)$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 4}) + \lg (2 x) - \lg (8 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (2) + \lg (x)) - (\lg (8) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (2) + \lg (x) - \lg (8) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x) - \lg (8) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x) - \lg (8) - \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze