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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{31})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $18$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{31}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{31}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{324}$ = $\frac{1}{18^{2}}$ = 18^-2 < $\frac{1}{31}$ und auf $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1 > $\frac{1}{31}$ .

Und da wir bei $\log_{18} (\frac{1}{31})$ ja das ☐ von 18^☐ = $\frac{1}{31}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
18^-2 = $\frac{1}{18^{2}}$ = $\frac{1}{324}$ < $\frac{1}{31}$ < $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{18} (\frac{1}{31})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1}) + 2 \lg (x^{- 2})$
= $8 \lg (x) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1000) + \lg (50) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1000) + \lg (50) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$

= $- \lg (1000) + \lg (50) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1000) + \lg (1)) + (\lg (50) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (1000) - \lg (1) + \lg (50) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1000) + 0 + \lg (50) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000) + 0 + \lg (50) + 0 - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze