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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10000})$ = $- 4$ , eben weil $10$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{10000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$ = ${(5^{3})}^{- 1}$ = $5^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (19)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $19$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $19$ ist.

Dabei kommt man auf $4^{2}$ = 4² < $19$ und auf $4^{3}$ = 4³ > $19$ .

Und da wir bei $\log_{4} (19)$ ja das ☐ von 4^☐ = $19$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^{2}$ < $19$ < $4^{3}$ = 4³

Es gilt somit: 2 < $\log_{4} (19)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) - \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 000 \cdot 25)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (1)) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (1) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) + 0 + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) + 0 + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze