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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{324} (18)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = $324^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $18$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18$ = $324^{\frac{1}{2}}$

$\log_{324} (18)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18$ = $324^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18$ = $324^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$ ^☐ = $18$ = $324^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{324} (18)$ = $\log_{324} (324^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $324$ ^{$\frac{1}{2}$} = $18$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{3486})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3486}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3486}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{3486}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{3486}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{3486})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{3486}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{3486}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{3486})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) - \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) - \lg (x) + \lg (x)$
= $9 - \lg (x) + \lg (x)$
= $9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 50)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $\lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{4 000 x^{5}}) + \lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{4 000 x^{5}}) + \lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{4000} x^{- 5}) + \lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (2) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (2) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) - 5 \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (4 000) - 5 \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (4 000) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000} \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze