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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{144} (12)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = $144^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $12$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12$ = $144^{\frac{1}{2}}$

$\log_{144} (12)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12$ = $144^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12$ = $144^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$ ^☐ = $12$ = $144^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{144} (12)$ = $\log_{144} (144^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $144$ ^{$\frac{1}{2}$} = $12$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (168)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $168$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $168$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $168$ und auf $14^{2}$ = 14² > $168$ .

Und da wir bei $\log_{14} (168)$ ja das ☐ von 14^☐ = $168$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $168$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (168)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{100}{x^{4}}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{10}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{100}{x^{4}}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{10}})$

= $- \lg (100 x^{- 4}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (25 x^{- 10})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (4) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{10}}))$

= $- \lg (100) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{10}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) + 4 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 10 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) + 4 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 10 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze