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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (10000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (10000)$ = $4$ , eben weil $10$ ^$4$ = $10000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{19}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{19}}$ = $19^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ = $\log_{19} (19^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $19^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $19^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ = $\log_{19} (19^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $19$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{19}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (247)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $247$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $247$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{7}$ = 2⁷ < $247$ und auf $2^{8}$ = 2⁸ > $247$ .

Und da wir bei $\log_{2} (247)$ ja das ☐ von 2^☐ = $247$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^{7}$ < $247$ < $2^{8}$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{2} (247)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 500)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 500)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 500 \cdot 4)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{400} x) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (20 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{400} x) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (20 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{400} x) + \lg (20 x^{- 1}) + \lg (20 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (400) + \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze