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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (121)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (121)$ = $2$ , eben weil $11$ ^$2$ = $121$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{196})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (\frac{1}{196})$ = $- 2$ , eben weil $14$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{196}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $12^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (239)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $239$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $239$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{2}$ = 10² < $239$ und auf $10^{3}$ = 10³ > $239$ .

Und da wir bei $\log_{10} (239)$ ja das ☐ von 10^☐ = $239$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = $10^{2}$ < $239$ < $10^{3}$ = 10³

Es gilt somit: 2 < $\log_{10} (239)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (324)$ - $\log_{3} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (324)$ - $\log_{3} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{324}{4})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 6 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 9 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (5) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (5) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (5) + \lg (50 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3}) + (\lg (5) + \lg (1)) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (1) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (50) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (50) - 3 \lg (x)$

= $\lg (50) - \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{25} \cdot 5)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze