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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt{16})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{16}$ um: $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (124)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $124$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $124$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $124$ und auf $13^{2}$ = 13² > $124$ .

Und da wir bei $\log_{13} (124)$ ja das ☐ von 13^☐ = $124$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $124$ < $13^{2}$ = 13²

Es gilt somit: 1 < $\log_{13} (124)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (\frac{1}{x}) + \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (\frac{1}{x}) + \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (1) - \log_{5} (x) + \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (1) - \log_{5} (x) + \log_{5} (x)$
= $0 - \log_{5} (x) + \log_{5} (x)$
=0

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,05)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,05)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.05}{5})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{- 3})$
= $- 12 \lg (x)$
= $- 12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{1}{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{1}{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x) + (\lg (2) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1))$

= $\lg (2) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (4) + 0$

= $4 \lg (x) - \lg (4) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze