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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{8})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{- 1}$ = ${(2^{3})}^{- 1}$ = $2^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 3}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{8})$ = $\log_{4} (2^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{8})$ = $\log_{4} (2^{- 3})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (92)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $92$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $92$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $92$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $92$ .

Und da wir bei $\log_{5} (92)$ ja das ☐ von 5^☐ = $92$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $92$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (92)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 000 \cdot 25)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{3}) + 4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{3}) + 4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $4 \lg (x^{3}) + 4 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $12 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $10 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{2}) - \lg (16) + \lg (4 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{2}) - \lg (16) + \lg (4 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) - (\lg (16) + \lg (1)) + (\lg (4) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) - \lg (16) - \lg (1) + \lg (4) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (16) + 0 + \lg (4) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (16) + 0 + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze