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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (32)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{5}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{5}$ = $4^{\frac{5}{2}}$

$\log_{4} (32)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{5}$ = $4^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{5}$ = $4^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{5}$ = $4^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (32)$ = $\log_{4} (4^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{5}{2}$} = $32$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (67)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $67$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $67$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $67$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $67$ .

Und da wir bei $\log_{3} (67)$ ja das ☐ von 3^☐ = $67$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $67$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (67)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (25) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{2}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,2)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,2)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.2}{2})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{3}) - 2 \lg (x^{- 3})$
= $3 \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $9 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50} x) - \lg (1000 x) + \lg (20 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50} x) - \lg (1000 x) + \lg (20 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x)) - (\lg (1000) + \lg (x)) + (\lg (20) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) - \lg (1000) - \lg (x) + \lg (20) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) - \lg (1000) - \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) - \lg (x) - \lg (1 000) - \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze