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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

$\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (6)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $6$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $6$ und auf $3^{2}$ = 3² > $6$ .

Und da wir bei $\log_{3} (6)$ ja das ☐ von 3^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $6$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (6)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,002)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,002)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.002}{2})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $4 \lg (x^{- 2})$
= $- 8 \lg (x)$
= $- 8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{4}}) - \lg (\frac{400}{x}) + \lg (2 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{4}}) - \lg (\frac{400}{x}) + \lg (2 x^{3})$

= $\lg (2 x^{- 4}) - \lg (400 x^{- 1}) + \lg (2 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - (\lg (400) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (400) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 4 \lg (x) - \lg (400) + \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 4 \lg (x) - \lg (400) + \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (400) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze