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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

$\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = $17^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ = $\log_{17} (17^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $17^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $17^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ = $\log_{17} (17^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $17$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (192)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $192$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $192$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{7}$ = 2⁷ < $192$ und auf $2^{8}$ = 2⁸ > $192$ .

Und da wir bei $\log_{2} (192)$ ja das ☐ von 2^☐ = $192$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^{7}$ < $192$ < $2^{8}$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{2} (192)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5000}{50})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{500.000} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{500.000} x^{2})$

= $\lg (25 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{500.000} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{500.000}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{500.000}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 0 + \lg (\frac{1}{500.000}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 0 + \lg (1) - \lg (500 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (500 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze