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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{18}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $18^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\frac{1}{\sqrt{18}})$ = $\log_{18} (18^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{18}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{104})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{104}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{104}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{225}$ = $\frac{1}{15^{2}}$ = 15^-2 < $\frac{1}{104}$ und auf $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1 > $\frac{1}{104}$ .

Und da wir bei $\log_{15} (\frac{1}{104})$ ja das ☐ von 15^☐ = $\frac{1}{104}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
15^-2 = $\frac{1}{15^{2}}$ = $\frac{1}{225}$ < $\frac{1}{104}$ < $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{15} (\frac{1}{104})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $9 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,005)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,005)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.005}{5})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{- 3})$
= $- 12 \lg (x)$
= $- 12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{6}) + \lg (\frac{1}{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{6}) + \lg (\frac{1}{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{6})) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{6}) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (4) + 0$

= $- 3 \lg (x) - \lg (4) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze