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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (\frac{1}{11})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{11}$ um: $\frac{1}{11}$ = $11^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11^{- 1}$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11^{- 1}$ = ${(121^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ = $\log_{121} (121^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{220})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{220}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{220}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^{8}}$ = 2^-8 < $\frac{1}{220}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 > $\frac{1}{220}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{220})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{220}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^{8}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{220}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{2} (\frac{1}{220})$ < -7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $10 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 50)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{3})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{8}{x}) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{8}{x}) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$

= $\lg (5 x^{3}) + \lg (8 x^{- 1}) + \lg (25 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) + (\lg (8) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (8) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (8) - \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (8) - \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (8) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 8 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze