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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{222})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{222}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{222}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^{8}}$ = 2^-8 < $\frac{1}{222}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 > $\frac{1}{222}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{222})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{222}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^{8}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{222}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{2} (\frac{1}{222})$ < -7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,1}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,1}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,1) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 1 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,002)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,002)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.002}{2})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{10 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{10} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 4 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze