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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = $10^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 1}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{80})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{80}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{80}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{121}$ = $\frac{1}{11^{2}}$ = 11^-2 < $\frac{1}{80}$ und auf $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1 > $\frac{1}{80}$ .

Und da wir bei $\log_{11} (\frac{1}{80})$ ja das ☐ von 11^☐ = $\frac{1}{80}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
11^-2 = $\frac{1}{11^{2}}$ = $\frac{1}{121}$ < $\frac{1}{80}$ < $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{11} (\frac{1}{80})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{2}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{4 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) + \lg (20 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{4 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) + \lg (20 x)$

= $\lg (\frac{1}{4000} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2}) + \lg (20 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (4 000) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

= $- \lg (4 000) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze