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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (361)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (361)$ = $2$ , eben weil $19$ ^$2$ = $361$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 1}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (47)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $47$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $47$ ist.

Dabei kommt man auf $4^{2}$ = 4² < $47$ und auf $4^{3}$ = 4³ > $47$ .

Und da wir bei $\log_{4} (47)$ ja das ☐ von 4^☐ = $47$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^{2}$ < $47$ < $4^{3}$ = 4³

Es gilt somit: 2 < $\log_{4} (47)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{20})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 6 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{11}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{800 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{800 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{800} x^{- 5}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 3}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (800) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze