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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = $10^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 1}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 500)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 500)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 500 \cdot 4)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) + \lg (\frac{1}{16} x^{2}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) + \lg (\frac{1}{16} x^{2}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{16}) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{16}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16}) + 2 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (16) + 2 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze