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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $4$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $4$ und auf $3^2$ = 3² > $4$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $4$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(\frac{100000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(\mathrm{0,002}\right)$ - $\lg \left(2\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(\mathrm{0,002}\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.002}{2}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4\lg \left(x^3\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)$
= $12\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$

= $\lg \left(5x^{-6}\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$