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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (2 130 865)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $2 130 865$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2 130 865$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $2 130 865$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $2 130 865$ .

Und da wir bei $\log_{10} (2 130 865)$ ja das ☐ von 10^☐ = $2 130 865$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $2 130 865$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (2 130 865)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (\frac{32}{x}) + \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (\frac{32}{x}) + \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (32) - \log_{2} (x) + \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{5}) - \log_{2} (x) + \log_{2} (x)$
= $5 - \log_{2} (x) + \log_{2} (x)$
= $5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3})$
= $3 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{2}) + \lg (20 x^{6}) - \lg (80 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{2}) + \lg (20 x^{6}) - \lg (80 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + (\lg (20) + \lg (x^{6})) - (\lg (80) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (x^{6}) - \lg (80) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 6 \lg (x) - \lg (80) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 6 \lg (x) - \lg (80) - 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze