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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (27) .

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Wir suchen den Logarithmus von 27 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 27 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 27 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (27) = 3, eben weil 33 = 27 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 9 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 9 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 1 9 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 1 9 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 3-Potenz zu schreiben versuchen, also 3 = 1 9

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 ( 1 9 ) = -2, eben weil 3-2 = 1 9 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 5 ) .

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Zuerst schreiben wir 5 um: 5 = 5 1 2

log 5 ( 5 ) = log 5 ( 5 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 5 1 2 zur Basis 5 suchen, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 5 ( 5 ) = log 5 ( 5 1 2 ) = 1 2 , eben weil 5 1 2 = 5 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 (435554893) liegt.

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Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 435554893, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 435554893 ist.

Dabei kommt man auf 10 8 = 108 < 435554893 und auf 10 9 = 109 > 435554893.

Und da wir bei log 10 (435554893) ja das ☐ von 10 = 435554893 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
108 = 10 8 < 435554893 < 10 9 = 109

Es gilt somit: 8 < log 10 (435554893) < 9

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0,1x ) +5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0,1x ) +5 lg( x )
= lg( 0,1 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= lg( 10 -1 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= -1 + lg( x ) +5 lg( x )
= 6 lg( x ) -1

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 2500 ) + lg( 4 ) .

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lg( 2500 ) + lg( 4 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 2500 · 4 )

= lg( 10000 )

= lg( 10 4 )

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x 2 ) + lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x 2 ) + lg( 1 x )
= lg( x -2 ) + lg( x -1 )
= -2 lg( x ) - lg( x )
= -3 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20 x 4 ) + lg( 20 x 9 ) - lg( 400 x ) soweit wie möglich.

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lg( 20 x 4 ) + lg( 20 x 9 ) - lg( 400 x )

= lg( 20 x 4 ) + lg( 20 x -9 ) - lg( 400 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 9 ) ) - ( lg( 400 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 20 ) + lg( x 4 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 9 ) - lg( 400 ) - lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) -9 lg( x ) - lg( 400 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) -9 lg( x ) - lg( 400 ) + lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 400 ) + lg( 20 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 400 · 20 · 20 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )