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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

$\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (10)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = $100^{\frac{1}{2}}$

$\log_{100} (10)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (10)$ = $\log_{100} (100^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{111})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{111}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{111}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{121}$ = $\frac{1}{11^{2}}$ = 11^-2 < $\frac{1}{111}$ und auf $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1 > $\frac{1}{111}$ .

Und da wir bei $\log_{11} (\frac{1}{111})$ ja das ☐ von 11^☐ = $\frac{1}{111}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
11^-2 = $\frac{1}{11^{2}}$ = $\frac{1}{121}$ < $\frac{1}{111}$ < $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{11} (\frac{1}{111})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 500)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 500)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 500 \cdot 4)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x) - 12 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 10 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{1}{8} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{1}{8} x^{4})$

= $\lg (4 x^{- 6}) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{1}{8} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (2) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze