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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

$\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$ = ${(5^{3})}^{- 1}$ = $5^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (5)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $5$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^{2}$ = 3² > $5$ .

Und da wir bei $\log_{3} (5)$ ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (5)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5000}{50})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{3})$
= $\lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) - 6 \lg (x)$
= $- \frac{9}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{20}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4} x^{9})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{20}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4} x^{9})$

= $\lg (5 x^{2}) - \lg (20 x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{4} x^{9})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) - (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{9}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) - \lg (20) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{9})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 9 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 9 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze