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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 1}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (12)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $12$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $12$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $12$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $12$ .

Und da wir bei $\log_{2} (12)$ ja das ☐ von 2^☐ = $12$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $12$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (12)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,003)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,003)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.003}{3})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{- 1}) + 4 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $4 \lg (x) - 2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1000} x^{2}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1000} x^{2}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x^{5}})$

= $\lg (\frac{1}{1000} x^{2}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (20 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2}) + (\lg (5) + \lg (x^{3})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + 2 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (20) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 000) + 2 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (20) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze