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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = $1000^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = $1000^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (1 600)$ - $\log_{2} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (1 600)$ - $\log_{2} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{1600}{50})$

= $\log_{2} (32)$

= $\log_{2} (2^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 1}) + 4 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{3})$
= $- \lg (x) - 8 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{3}) - \lg (\frac{8}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{3}) - \lg (\frac{8}{x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{3}) - \lg (8 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{3})) - (\lg (8) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{3}) - \lg (8) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 3 \lg (x) - \lg (8) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (8) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze