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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{289} (\frac{1}{17})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{17}$ um: $\frac{1}{17}$ = $17^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = $289^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $17^{- 1}$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

$17^{- 1}$ = ${(289^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{289} (\frac{1}{17})$ = $\log_{289} (17^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$ ^☐ = $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{289} (\frac{1}{17})$ = $\log_{289} (17^{- 1})$ = $\log_{289} (289^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $289$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{17}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (4)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $4$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $4$ und auf $3^{2}$ = 3² > $4$ .

Und da wir bei $\log_{3} (4)$ ja das ☐ von 3^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $4$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (4)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{16} (12 800)$ - $\log_{16} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{16} (12 800)$ - $\log_{16} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{16} (\frac{12800}{50})$

= $\log_{16} (256)$

= $\log_{16} (16^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$
= $8 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (\frac{2}{x}) - \lg (\frac{1}{5} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (\frac{2}{x}) - \lg (\frac{1}{5} x)$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (2 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{5} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - \lg (x)$

= $- \lg (100) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze