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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

$\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (924 380)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $924 380$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $924 380$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $924 380$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $924 380$ .

Und da wir bei $\log_{10} (924 380)$ ja das ☐ von 10^☐ = $924 380$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $924 380$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (924 380)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,03)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,03)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.03}{3})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{20 x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{20 x^{5}})$

= $\lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{20} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) - 5 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze