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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{64})$ = $- 3$ , eben weil $4$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 1}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (5)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $5$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^{2}$ = 3² > $5$ .

Und da wir bei $\log_{3} (5)$ ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (5)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (320)$ - $\log_{2} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (320)$ - $\log_{2} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{320}{5})$

= $\log_{2} (64)$

= $\log_{2} (2^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20} x^{4}) + \lg (\frac{1}{400.000} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20} x^{4}) + \lg (\frac{1}{400.000} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{400.000}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (1))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{400.000}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400.000}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (400 000) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 0$

= $- \lg (400 000) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400.000} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze