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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{58})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{58}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{58}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{58}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{58}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{58})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{58}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{58}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{58})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10 000) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $4 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (135)$ - $\log_{3} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (135)$ - $\log_{3} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{135}{5})$

= $\log_{3} (27)$

= $\log_{3} (3^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $2 \lg (x^{- 1}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x) + 6 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{80 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{80 x})$

= $\lg (20 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{80} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) - \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze