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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

$\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{12})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{12}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{12}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 < $\frac{1}{12}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3 > $\frac{1}{12}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{12})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{12}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^{4}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{12}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{2} (\frac{1}{12})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (4 050)$ - $\log_{3} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (4 050)$ - $\log_{3} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{4050}{50})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 1})$
= $- 3 \lg (x) - \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x}) + \lg (\frac{1}{125} x^{2}) + \lg (\frac{25}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5 x}) + \lg (\frac{1}{125} x^{2}) + \lg (\frac{25}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{125} x^{2}) + \lg (25 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze