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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{112})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{112}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{112}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{121}$ = $\frac{1}{11^{2}}$ = 11^-2 < $\frac{1}{112}$ und auf $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1 > $\frac{1}{112}$ .

Und da wir bei $\log_{11} (\frac{1}{112})$ ja das ☐ von 11^☐ = $\frac{1}{112}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
11^-2 = $\frac{1}{11^{2}}$ = $\frac{1}{121}$ < $\frac{1}{112}$ < $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{11} (\frac{1}{112})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (160)$ - $\log_{2} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (160)$ - $\log_{2} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{160}{20})$

= $\log_{2} (8)$

= $\log_{2} (2^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $- 2 \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1000 x) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (20)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1000 x) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (20)$

= $- \lg (1000 x) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 4}) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1000) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (20) + \lg (1))$

= $- \lg (1000) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (20) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1000) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 0$

= $3 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze