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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{64}$ um: $\frac{1}{64}$ = $64^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{64}$ = $64^{- 1}$ = ${(4^{3})}^{- 1}$ = $4^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 3}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $16^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{64})$ = $\log_{16} (4^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 3}$ = $16^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 3}$ = $16^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 3}$ = $16^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{64})$ = $\log_{16} (4^{- 3})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{5})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{5}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{5}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 < $\frac{1}{5}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{5}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{5})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{5}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{3} (\frac{1}{5})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 2)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25) + \lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{1 250 x^{7}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25) + \lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{1 250 x^{7}})$

= $\lg (25) + \lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{- 7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (1) + (\lg (50) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}))$

= $\lg (25) + \lg (1) + \lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (\frac{1}{x^{7}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 0 + \lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1250}) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 0 + \lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 250) - 7 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze