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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000)$ = $5$ , eben weil $10$ ^$5$ = $100 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

$\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{361} (19)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = $361^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = $361^{\frac{1}{2}}$

$\log_{361} (19)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$ ^☐ = $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{361} (19)$ = $\log_{361} (361^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $361$ ^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (98 352 036)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $98 352 036$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $98 352 036$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $98 352 036$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $98 352 036$ .

Und da wir bei $\log_{10} (98 352 036)$ ja das ☐ von 10^☐ = $98 352 036$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $98 352 036$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (98 352 036)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{7})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{7}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{7})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 7 \lg (x)$

= $- \lg (100) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze