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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{64})$ = $- 6$ , eben weil $2$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{8}}$ = $8^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{8}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (8)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $8$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $8$ und auf $3^{2}$ = 3² > $8$ .

Und da wir bei $\log_{3} (8)$ ja das ☐ von 3^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $8$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (8)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{200}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 12 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{23}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{2}}) - \lg (\frac{200 000}{x^{3}}) + \lg (\frac{50}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{2}}) - \lg (\frac{200 000}{x^{3}}) + \lg (\frac{50}{x})$

= $\lg (4 x^{- 2}) - \lg (200 000 x^{- 3}) + \lg (50 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (200 000) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (200 000) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (200 000) + 3 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (200 000) + 3 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x)$

= $- \lg (200 000) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200.000} \cdot 50 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze