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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{256})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{256})$ = $- 8$ , eben weil $2$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{324} (\frac{1}{18})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{18}$ um: $\frac{1}{18}$ = $18^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = $324^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $18^{- 1}$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18^{- 1}$ = ${(324^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{324} (\frac{1}{18})$ = $\log_{324} (18^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$ ^☐ = $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{324} (\frac{1}{18})$ = $\log_{324} (18^{- 1})$ = $\log_{324} (324^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $324$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{18}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (20)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $20$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $20$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $20$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $20$ .

Und da wir bei $\log_{3} (20)$ ja das ☐ von 3^☐ = $20$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $20$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (20)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 \cdot 5)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{25}{x^{3}}) + \lg (\frac{5}{x^{10}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{25}{x^{3}}) + \lg (\frac{5}{x^{10}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$

= $- \lg (25 x^{- 3}) + \lg (5 x^{- 10}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{10}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (25) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{10}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 10 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 10 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze