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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\sqrt{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{12}$ um: $\sqrt{12}$ = $12^{\frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\sqrt{12})$ = $\log_{12} (12^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\sqrt{12})$ = $\log_{12} (12^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{12}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (120)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $120$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $120$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $120$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $120$ .

Und da wir bei $\log_{2} (120)$ ja das ☐ von 2^☐ = $120$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $120$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (120)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 20)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $2 \lg (x^{- 3})$
= $- 6 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{4})$

= $\lg (50 x^{3}) + \lg (25 x^{- 6}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1250}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 250) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze