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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $12^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (98)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $98$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $98$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $98$ und auf $11^{2}$ = 11² > $98$ .

Und da wir bei $\log_{11} (98)$ ja das ☐ von 11^☐ = $98$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $98$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (98)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 50)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$
= $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 6 \lg (x) - \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{13}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x) - \lg (\frac{1}{4} x^{4}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x) - \lg (\frac{1}{4} x^{4}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{4})) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (5) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze