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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10 000 000}$ um: $\sqrt{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10 000 000$ eine Potenz ist: $10 000 000$ = $10^{7}$

Also schreiben wir $\sqrt{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{7})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{7}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10 000 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (136)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $136$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $136$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $136$ und auf $14^{2}$ = 14² > $136$ .

Und da wir bei $\log_{14} (136)$ ja das ☐ von 14^☐ = $136$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $136$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (136)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{243}{3})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$
= $8 \lg (x) + 4 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $16 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (100 x^{2}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (50)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (100 x^{2}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (x^{2})) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) + (\lg (50) + \lg (1))$

= $- \lg (100) - \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (50) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (50) + 0$

= $- \lg (100) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze