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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100 000}$ um: $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Also schreiben wir $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{5})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{5}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (35)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $35$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $35$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $35$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $35$ .

Und da wir bei $\log_{5} (35)$ ja das ☐ von 5^☐ = $35$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $35$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (35)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{200}{20})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 1}) - 2 \lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{1}{2 000 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{1}{2 000 x})$

= $\lg (4 x^{2}) + \lg (50 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{2000} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{2000}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{2000}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{2000}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 000) - \lg (x)$

= $- \lg (2 000) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000} \cdot 50 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze