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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{37})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{37}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{37}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{144}$ = $\frac{1}{12^{2}}$ = 12^-2 < $\frac{1}{37}$ und auf $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1 > $\frac{1}{37}$ .

Und da wir bei $\log_{12} (\frac{1}{37})$ ja das ☐ von 12^☐ = $\frac{1}{37}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
12^-2 = $\frac{1}{12^{2}}$ = $\frac{1}{144}$ < $\frac{1}{37}$ < $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{12} (\frac{1}{37})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{200}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 2}) + 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x) - 6 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20) - \lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (\frac{1}{1.000.000} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20) - \lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (\frac{1}{1.000.000} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 0 - \lg (\frac{1}{50}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 0 - \lg (1) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (1 000 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1.000.000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze