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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{289})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (\frac{1}{289})$ = $- 2$ , eben weil $17$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{289}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{85.548.274})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{85.548.274}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{85.548.274}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8 < $\frac{1}{85.548.274}$ und auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7 > $\frac{1}{85.548.274}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{85.548.274})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{85.548.274}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
10^-8 = $\frac{1}{10^{8}}$ = $\frac{1}{100000000}$ < $\frac{1}{85.548.274}$ < $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{10} (\frac{1}{85.548.274})$ < -7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{2000}{20})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) - 4 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{11}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) - \lg (\frac{2}{25} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) - \lg (\frac{2}{25} x)$

= $\lg (4 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2}) - \lg (\frac{2}{25} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{2}{25}) + \lg (x))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{2}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{2}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (2) + \lg (25) - \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 20 \cdot 4}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze