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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 1}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{219})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{219}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{219}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{225}$ = $\frac{1}{15^{2}}$ = 15^-2 < $\frac{1}{219}$ und auf $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1 > $\frac{1}{219}$ .

Und da wir bei $\log_{15} (\frac{1}{219})$ ja das ☐ von 15^☐ = $\frac{1}{219}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
15^-2 = $\frac{1}{15^{2}}$ = $\frac{1}{225}$ < $\frac{1}{219}$ < $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{15} (\frac{1}{219})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{16} (\frac{256}{x}) + \log_{16} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{16} (\frac{256}{x}) + \log_{16} (x)$
= $\log_{16} (256) - \log_{16} (x) + \log_{16} (x)$
= $\log_{16} (16^{2}) - \log_{16} (x) + \log_{16} (x)$
= $2 - \log_{16} (x) + \log_{16} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{20})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{3})$
= $3 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\frac{13}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{1}{250} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{1}{250} x)$

= $\lg (5 x^{2}) + \lg (50 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{250} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) + \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze