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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (289)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (289)$ = $2$ , eben weil $17$ ^$2$ = $289$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{125}$ um: $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{125}$ = $125^{- 1}$ = ${(5^{3})}^{- 1}$ = $5^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 3}$ = $25^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{125})$ = $\log_{25} (5^{- 3})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (36)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $36$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $36$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $36$ und auf $11^{2}$ = 11² > $36$ .

Und da wir bei $\log_{11} (36)$ ja das ☐ von 11^☐ = $36$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $36$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (36)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 000 \cdot 50)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{3})$
= $- \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x}) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x}) + \lg (25 x^{2})$

= $\lg (2 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1}) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze