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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (289)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (289)$ = $2$ , eben weil $17$ ^$2$ = $289$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = $10^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (108)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $108$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $108$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $108$ und auf $12^{2}$ = 12² > $108$ .

Und da wir bei $\log_{12} (108)$ ja das ☐ von 12^☐ = $108$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $108$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (108)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100}{x}) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100}{x}) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $2 - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,4)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,4)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.4}{4})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{1}{40}) - \lg (\frac{1}{2} x^{8})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{1}{40}) - \lg (\frac{1}{2} x^{8})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{8}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{8})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) + 0 - \lg (\frac{1}{2}) - 8 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) + 0 - \lg (1) + \lg (2) - 8 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze