Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[4]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

$\log_{2} (\sqrt[4]{2})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{187.136.777})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{187.136.777}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{187.136.777}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{10^{9}}$ = 10^-9 < $\frac{1}{187.136.777}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8 > $\frac{1}{187.136.777}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{187.136.777})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{187.136.777}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{10^{9}}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{187.136.777}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < $\log_{10} (\frac{1}{187.136.777})$ < -8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $7 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 20)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x) + 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) - \lg (10 x^{4}) - \lg (\frac{1}{2 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{3}) - \lg (10 x^{4}) - \lg (\frac{1}{2 x})$

= $\lg (50 x^{3}) - \lg (10 x^{4}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) - (\lg (10) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) - \lg (10) - \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (10) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (10) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x)$

= $\lg (50) - \lg (10) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{10} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze