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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\sqrt[4]{11})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{11}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{11}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\sqrt[4]{11}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{11}$ als $11^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $11$ ^☐ = $11^{\frac{1}{4}}$

$\log_{11} (\sqrt[4]{11})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $11$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{11}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (110)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $110$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $110$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $110$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $110$ .

Und da wir bei $\log_{2} (110)$ ja das ☐ von 2^☐ = $110$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $110$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (110)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - \lg (x)$
= $8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{50})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 3})$
= $- \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{2} x^{4}) + \lg (\frac{2}{x^{6}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{2} x^{4}) + \lg (\frac{2}{x^{6}})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 2}) + \lg (\frac{5}{2} x^{4}) + \lg (2 x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{5}{2}) + \lg (x^{4})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{5}{2}) + \lg (x^{4}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{5}{2}) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (5) - \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 6 \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze