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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt[4]{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{16}$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $\sqrt[4]{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{16}$ als $16^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{4}}$

$\log_{16} (\sqrt[4]{16})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (18)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $18$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $18$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $18$ und auf $13^{2}$ = 13² > $18$ .

Und da wir bei $\log_{13} (18)$ ja das ☐ von 13^☐ = $18$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $18$ < $13^{2}$ = 13²

Es gilt somit: 1 < $\log_{13} (18)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (4 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (4 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4 000 \cdot 25)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x) - 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{80} x^{2}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{80} x^{2}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{4})$

= $\lg (\frac{1}{80} x^{2}) + \lg (20 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{2}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1))$

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) + 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (80) + 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 0$

= $\lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze