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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $247$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $247$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $247$ und auf ${16}^2$ = 16² > $247$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $247$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $247$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(10000000x\right)-4\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2\lg \left(x^3\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^3\right)$
= $6\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$