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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 19 (361) .

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Wir suchen den Logarithmus von 361 zur Basis 19, also die Hochzahl mit der man 19 potenzieren muss, um auf 361 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 19 = 361 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 19 (361) = 2, eben weil 192 = 361 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 2 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 2 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 2 gilt.

Wenn wir jetzt die 2 als 2 1 2 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 2 = 2 1 2

log 2 ( 2 ) = 1 2 , eben weil 2 1 2 = 2 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 9 ( 1 3 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 3 um: 1 3 = 3 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis 9 suchen und 9 gerade 3² ist (also 3 = 9 = 9 1 2 ), formen wir 3 -1 noch so um, dass sie 9 als Basis hat:

3 -1 = ( 9 1 2 ) -1 = 9 - 1 2

log 9 ( 1 3 ) = log 9 ( 3 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 -1 = 9 - 1 2 zur Basis 9 suchen, also die Hochzahl mit der man 9 potenzieren muss, um auf 3 -1 = 9 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 9 = 3 -1 = 9 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 9 ( 1 3 ) = log 9 ( 3 -1 ) = log 9 ( 9 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 9 - 1 2 = 1 3 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (47) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 47, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 47 ist.

Dabei kommt man auf 4 2 = 42 < 47 und auf 4 3 = 43 > 47.

Und da wir bei log 4 (47) ja das ☐ von 4 = 47 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
42 = 4 2 < 47 < 4 3 = 43

Es gilt somit: 2 < log 4 (47) < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000x ) -4 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000x ) -4 lg( x )
= lg( 1000 ) + lg( x ) -4 lg( x )
= lg( 10 3 ) + lg( x ) -4 lg( x )
= 3 + lg( x ) -4 lg( x )
= -3 lg( x ) +3

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 0,02 ) - lg( 20 ) .

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lg( 0,02 ) - lg( 20 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 0.02 20 )

= lg( 0,001 )

= lg( 10 -3 )

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 2 lg( 1 x 3 ) + lg( x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
2 lg( 1 x 3 ) + lg( x )
= 2 lg( x -3 ) + lg( x 1 2 )
= -6 lg( x ) + 1 2 lg( x )
= - 11 2 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 800 x 5 ) - lg( 1 4 x 3 ) + lg( 20 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 800 x 5 ) - lg( 1 4 x 3 ) + lg( 20 x 2 )

= lg( 1 800 x -5 ) - lg( 1 4 x -3 ) + lg( 20 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 800 ) + lg( 1 x 5 ) - ( lg( 1 4 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 1 800 ) + lg( 1 x 5 ) - lg( 1 4 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 20 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 800 ) -5 lg( x ) - lg( 1 4 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 800 ) -5 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) +2 lg( x )

= - lg( 800 ) + lg( 20 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 800 · 20 · 4 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1