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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{169})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (\frac{1}{169})$ = $- 2$ , eben weil $13$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{169}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100 000}$ um: $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Also schreiben wir $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{5})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{5}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100 000}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (94)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $94$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $94$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $94$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $94$ .

Und da wir bei $\log_{5} (94)$ ja das ☐ von 5^☐ = $94$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $94$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (94)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 2)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + 3 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\frac{9}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{3}) - \lg (\frac{1 000}{x^{2}}) + \lg (25 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4} x^{3}) - \lg (\frac{1 000}{x^{2}}) + \lg (25 x)$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{3}) - \lg (1000 x^{- 2}) + \lg (25 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{3})) - (\lg (1000) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{3}) - \lg (1000) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 3 \lg (x) - \lg (1000) + 2 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 3 \lg (x) - \lg (1 000) + 2 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 25 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze