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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{256} (16)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = $256^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $16$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

$16$ = $256^{\frac{1}{2}}$

$\log_{256} (16)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$ ^☐ = $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{256} (16)$ = $\log_{256} (256^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $256$ ^{$\frac{1}{2}$} = $16$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (200)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $200$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $200$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{7}$ = 2⁷ < $200$ und auf $2^{8}$ = 2⁸ > $200$ .

Und da wir bei $\log_{2} (200)$ ja das ☐ von 2^☐ = $200$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^{7}$ < $200$ < $2^{8}$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{2} (200)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $3 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (25 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (25 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (1)) + (\lg (25) + \lg (x))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + 0 + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + 0 + \lg (25) + \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze