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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000 000)$ = $8$ , eben weil $10$ ^$8$ = $100 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{324})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{18} (\frac{1}{324})$ = $- 2$ , eben weil $18$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{324}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{64})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100 000}{x}) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100 000}{x}) - \lg (x)$
= $\lg (100 000) - \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) - \lg (x) - \lg (x)$
= $5 - \lg (x) - \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,004)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,004)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.004}{4})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{3})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{3})$
= $\lg (x) + 6 \lg (x)$
= $7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10 x}) + \lg (2 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10 x}) + \lg (2 x^{2})$

= $\lg (5 x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{10} x^{- 1}) + \lg (2 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) - \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) - \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze