Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{169})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (\frac{1}{169})$ = $- 2$ , eben weil $13$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{169}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{12})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{12}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{12}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 < $\frac{1}{12}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3 > $\frac{1}{12}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{12})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{12}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^{4}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{12}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{2} (\frac{1}{12})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (200)$ - $\log_{4} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (200)$ - $\log_{4} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{200}{50})$

= $\log_{4} (4)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $4 \lg (x) - \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (125 x^{3}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (5 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (125 x^{3}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (5 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (125) + \lg (x^{3})) + (\lg (25) + \lg (x^{4})) + (\lg (5) + \lg (x))$

= $- \lg (125) - \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (125) - 3 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (125) - 3 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze