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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{361})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (\frac{1}{361})$ = $- 2$ , eben weil $19$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{361}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (1 000 000 000)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{9}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$

$\log_{100} (1 000 000 000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (1 000 000 000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{9}{2}})$ = $\frac{9}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{9}{2}$} = $1 000 000 000$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (14)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $14$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $14$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $14$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $14$ .

Und da wir bei $\log_{2} (14)$ ja das ☐ von 2^☐ = $14$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $14$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (14)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (81 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (81 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (81) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{4}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $4 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 \cdot 50)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{4}) - \lg (10 x) - \lg (\frac{1}{2} x^{6})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{4}) - \lg (10 x) - \lg (\frac{1}{2} x^{6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{4}) - (\lg (10) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{6}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{4}) - \lg (10) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{6})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 4 \lg (x) - \lg (10) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 4 \lg (x) - \lg (10) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 6 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze