Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10000})$ = $- 4$ , eben weil $10$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{10000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{27}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = $27^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = $27^{- \frac{1}{2}}$ = ${(3^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $3^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{27}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{27}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{27}}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (10)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $10$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $10$ und auf $4^{2}$ = 4² > $10$ .

Und da wir bei $\log_{4} (10)$ ja das ☐ von 4^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $10$ < $4^{2}$ = 4²

Es gilt somit: 1 < $\log_{4} (10)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) + \lg (x)$
= $1 - \lg (x) + \lg (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (32)$ + $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (32)$ + $\log_{4} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (32 \cdot 2)$

= $\log_{4} (64)$

= $\log_{4} (4^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{6250}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{6250}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{6250}) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{6250}) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{6250}) + 0 - \lg (\frac{1}{25}) - 3 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (6 250) + 0 - \lg (1) + \lg (25) - 3 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (6 250) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{6250} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze