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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

$\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = $15^{\frac{1}{2}}$

$\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $15^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (13)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $13$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $13$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $13$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $13$ .

Und da wir bei $\log_{2} (13)$ ja das ☐ von 2^☐ = $13$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $13$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (13)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (128 x) - \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (128 x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (128) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{7}) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $7 + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 2)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3})$
= $3 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (\frac{4}{5} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (\frac{4}{5} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{4}{5}) + \lg (x))$

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{3}) + \lg (\frac{4}{5}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{4}{5}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (4) - \lg (5) + \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (25) - \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 25}{5} \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze