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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10 000 000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10 000 000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10 000 000}}$ = ${10 000 000}^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10 000 000$ eine Potenz ist: $10 000 000$ = $10^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10 000 000}}$ = ${10 000 000}^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10 000 000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (10)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $10$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $10$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $10$ .

Und da wir bei $\log_{3} (10)$ ja das ☐ von 3^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $10$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (10)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,005)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,005)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.005}{5})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $- 2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (2000 x^{4}) + \lg (50) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (2000 x^{4}) + \lg (50) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$

= $- \lg (2000 x^{4}) + \lg (50) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (2000) + \lg (x^{4})) + (\lg (50) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (2000) - \lg (x^{4}) + \lg (50) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (2000) - 4 \lg (x) + \lg (50) + 0 - \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (2 000) - 4 \lg (x) + \lg (50) + 0 - \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (2 000) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000} \cdot 50 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze