Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ = $- 8$ , eben weil $10$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (6 180 486)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $6 180 486$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6 180 486$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $6 180 486$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $6 180 486$ .

Und da wir bei $\log_{10} (6 180 486)$ ja das ☐ von 10^☐ = $6 180 486$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $6 180 486$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (6 180 486)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 500)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 500)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 500 \cdot 4)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{4})$
= $16 \lg (x)$
= $16 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (100 x^{11}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (100 x^{11}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (100 x^{11}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (100) + \lg (x^{11})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (100) - \lg (x^{11}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (100) - 11 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (100) - 11 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze