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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $5^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (8)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $8$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $8$ und auf $5^{2}$ = 5² > $8$ .

Und da wir bei $\log_{5} (8)$ ja das ☐ von 5^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $8$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (8)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{19} (361 x) - \log_{19} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{19} (361 x) - \log_{19} (x)$
= $\log_{19} (361) + \log_{19} (x) - \log_{19} (x)$
= $\log_{19} (19^{2}) + \log_{19} (x) - \log_{19} (x)$
= $2 + \log_{19} (x) - \log_{19} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,05)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,05)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.05}{50})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1250 x^{3}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (25)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1250 x^{3}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1250) + \lg (x^{3})) + (\lg (5) + \lg (x^{3})) + (\lg (25) + \lg (1))$

= $- \lg (1250) - \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1250) - 3 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 250) - 3 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) + 0$

= $- \lg (1 250) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze