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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{2})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{2})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,01}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,01}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,01) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,5)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,5)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.5}{5})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{4})$
= $- 3 \lg (x) - 2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{400 000}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (20 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{400 000}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (20 x)$

= $- \lg (400 000 x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (20 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (400 000) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{5})) + (\lg (20) + \lg (x))$

= $- \lg (400 000) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{5}) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (400 000) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (400 000) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

= $- \lg (400 000) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400.000} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze