Wir suchen den Logarithmus von $100000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $10$^$5$ = $100000$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{18}$ um: $\sqrt{18}$ = ${18}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf ${18}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $172575521$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $172575521$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^8$ = 10⁸ < $172575521$ und auf ${10}^9$ = 10⁹ > $172575521$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $172575521$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = ${10}^8$ < $172575521$ < ${10}^9$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < < 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·2)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(1250x^2\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+0$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$