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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{169})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (\frac{1}{169})$ = $- 2$ , eben weil $13$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{169}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 1}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (68)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $68$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $68$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $68$ und auf $15^{2}$ = 15² > $68$ .

Und da wir bei $\log_{15} (68)$ ja das ☐ von 15^☐ = $68$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $68$ < $15^{2}$ = 15²

Es gilt somit: 1 < $\log_{15} (68)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - \lg (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,004)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,004)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.004}{4})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{5} x) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{5} x) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$

= $\lg (\frac{1}{5} x) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{5}))$

= $\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (5) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 5 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) - \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 20}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze