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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

$\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (64)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{3}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$

$\log_{16} (64)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (64)$ = $\log_{16} (16^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (204)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $204$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $204$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $204$ und auf $15^{2}$ = 15² > $204$ .

Und da wir bei $\log_{15} (204)$ ja das ☐ von 15^☐ = $204$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $204$ < $15^{2}$ = 15²

Es gilt somit: 1 < $\log_{15} (204)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) + \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 000 \cdot 25)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $4 \lg (x^{- 2})$
= $- 8 \lg (x)$
= $- 8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{12500} x) + \lg (50 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{12500} x) + \lg (50 x^{3})$

= $\lg (25 x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{12500} x) + \lg (50 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + (\lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x) + \lg (50) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (12 500) + \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (12 500) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze