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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (121)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (121)$ = $2$ , eben weil $11$ ^$2$ = $121$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

$\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (27)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$

$\log_{9} (27)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (27)$ = $\log_{9} (9^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (88)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $88$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $88$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $88$ und auf $15^{2}$ = 15² > $88$ .

Und da wir bei $\log_{15} (88)$ ja das ☐ von 15^☐ = $88$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $88$ < $15^{2}$ = 15²

Es gilt somit: 1 < $\log_{15} (88)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (\frac{1}{400})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (\frac{1}{400})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{5})) + (\lg (\frac{1}{400}) + \lg (1))$

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{5}) + \lg (\frac{1}{400}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (400) + 0$

= $- 3 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze