Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

$\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{18} (144)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $18$ er-Potenzen in der Näher von $144$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $144$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $144$ und auf $18^{2}$ = 18² > $144$ .

Und da wir bei $\log_{18} (144)$ ja das ☐ von 18^☐ = $144$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $144$ < $18^{2}$ = 18²

Es gilt somit: 1 < $\log_{18} (144)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{17} (289 x) - \log_{17} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{17} (289 x) - \log_{17} (x)$
= $\log_{17} (289) + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $\log_{17} (17^{2}) + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $2 + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{128}{2})$

= $\log_{2} (64)$

= $\log_{2} (2^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{4}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{4}) + \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $16 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{33}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) - \lg (20) + \lg (\frac{5}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) - \lg (20) + \lg (\frac{5}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 3}) - \lg (20) + \lg (5 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (20) + \lg (1)) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (20) - \lg (1) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x) - \lg (20) + 0 + \lg (5) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (20) + 0 + \lg (5) - \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze