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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{256})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $16$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{16} (\frac{1}{256})$ = $- 2$ , eben weil $16$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = $10^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{4})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{4}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{4}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{4})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{5} (\frac{1}{4})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{18} (324 x) - \log_{18} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{18} (324 x) - \log_{18} (x)$
= $\log_{18} (324) + \log_{18} (x) - \log_{18} (x)$
= $\log_{18} (18^{2}) + \log_{18} (x) - \log_{18} (x)$
= $2 + \log_{18} (x) - \log_{18} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 \cdot 25)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{1000} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{1000} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{1000}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 25 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze