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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

$\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{196} (\frac{1}{14})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{14}$ um: $\frac{1}{14}$ = $14^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = $196^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $14^{- 1}$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14^{- 1}$ = ${(196^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$ ^☐ = $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ = $\log_{196} (196^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $196$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{14}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{44})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{44}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{44}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{44}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{44}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{44})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{44}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{44}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{44})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{400}{4})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (2000)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (2000)$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (5 x^{- 2}) - \lg (2000)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (2000) + \lg (1))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (2000) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (2000) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (2 000) + 0$

= $- \lg (2 000) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000} \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze