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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $5$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^2$ = 3² > $5$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(10x\right)-4\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-11\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{8x}\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{8x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{8}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))-(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{8}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·8·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$