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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\sqrt[3]{13})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{13}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\sqrt[3]{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{13}$ als $13^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$ ^☐ = $13^{\frac{1}{3}}$

$\log_{13} (\sqrt[3]{13})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $13$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{13}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (6935)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $6935$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6935$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{3}$ = 10³ < $6935$ und auf $10^{4}$ = 10⁴ > $6935$ .

Und da wir bei $\log_{10} (6935)$ ja das ☐ von 10^☐ = $6935$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = $10^{3}$ < $6935$ < $10^{4}$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{10} (6935)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{3})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 6 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- \frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{5000} x) + \lg (25 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{5000} x) + \lg (25 x^{4})$

= $\lg (20 x^{- 5}) + \lg (\frac{1}{5000} x) + \lg (25 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (x) + \lg (25) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5 000) + \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (5 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze