Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (10 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $10 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (10 000 000)$ = $7$ , eben weil $10$ ^$7$ = $10 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\sqrt[3]{12})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{12}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\sqrt[3]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{12}$ als $12^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$ ^☐ = $12^{\frac{1}{3}}$

$\log_{12} (\sqrt[3]{12})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $12$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{12}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (2)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (2)$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (48)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $48$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $48$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $48$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $48$ .

Und da wir bei $\log_{3} (48)$ ja das ☐ von 3^☐ = $48$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $48$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (48)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $4 + \lg (x) - \lg (x)$
= $4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{15} (675)$ - $\log_{15} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{15} (675)$ - $\log_{15} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{15} (\frac{675}{3})$

= $\log_{15} (225)$

= $\log_{15} (15^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 1})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - \lg (x) - \lg (x)$
= $- \frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{100}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{100}{x^{4}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (20 x^{- 5}) - \lg (100 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) - (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (100) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) + \lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (100) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) - \lg (x) + \lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (100) + 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze