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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $2$^$-8$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $128$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $128$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $128$ und auf ${14}^2$ = 14² > $128$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $128$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $128$ < ${14}^2$ = 14²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-3\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+2\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^4\right)+2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$