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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $133$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $133$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $133$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $133$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $133$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $133$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(100000000x\right)-4\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(\mathrm{0,003}\right)$ - $\lg \left(3\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(\mathrm{0,003}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.003}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-3}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{25}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(\frac{25}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)$

= $\lg \left(25x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+0$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$