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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

$\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$ = ${(3^{3})}^{- 1}$ = $3^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (532 565)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $532 565$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $532 565$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $532 565$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $532 565$ .

Und da wir bei $\log_{10} (532 565)$ ja das ☐ von 10^☐ = $532 565$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $532 565$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (532 565)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (12)$ - $\log_{4} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (12)$ - $\log_{4} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{12}{3})$

= $\log_{4} (4)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) - \lg (\frac{800}{x}) + \lg (\frac{20}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{3}) - \lg (\frac{800}{x}) + \lg (\frac{20}{x^{4}})$

= $\lg (4 x^{3}) - \lg (800 x^{- 1}) + \lg (20 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) - (\lg (800) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) - \lg (800) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (800) + \lg (x) + \lg (20) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (800) + \lg (x) + \lg (20) - 4 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze