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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1000)$ = $3$ , eben weil $10$ ^$3$ = $1000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 1}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (84 575 778)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $84 575 778$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $84 575 778$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $84 575 778$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $84 575 778$ .

Und da wir bei $\log_{10} (84 575 778)$ ja das ☐ von 10^☐ = $84 575 778$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $84 575 778$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (84 575 778)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (9 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (9 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (9) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{2}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $2 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{200}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $2 \lg (x) + 6 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{15}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{125} x^{3}) + \lg (2) + \lg (4 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{125} x^{3}) + \lg (2) + \lg (4 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3})) + (\lg (2) + \lg (1)) + (\lg (4) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{125}) - \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (1) + \lg (4) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{125}) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 0 + \lg (4) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (125) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 0 + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $\lg (125) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (125 \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze