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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (10 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $10 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (10 000 000)$ = $7$ , eben weil $10$ ^$7$ = $10 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

$\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{144} (12)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = $144^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $12$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12$ = $144^{\frac{1}{2}}$

$\log_{144} (12)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12$ = $144^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12$ = $144^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$ ^☐ = $12$ = $144^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{144} (12)$ = $\log_{144} (144^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $144$ ^{$\frac{1}{2}$} = $12$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{9.806.374})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{9.806.374}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{9.806.374}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7 < $\frac{1}{9.806.374}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6 > $\frac{1}{9.806.374}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{9.806.374})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{9.806.374}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{10^{7}}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{9.806.374}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < $\log_{10} (\frac{1}{9.806.374})$ < -6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,01}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,01}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,01) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 2 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (250)$ - $\log_{5} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (250)$ - $\log_{5} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{250}{2})$

= $\log_{5} (125)$

= $\log_{5} (5^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{3}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $3 \lg (x) + \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3}) + \lg (\frac{1}{10} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3}) + \lg (\frac{1}{10} x^{4})$

= $\lg (25 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3}) + \lg (\frac{1}{10} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze