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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{64})$ = $- 6$ , eben weil $2$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{225} (15)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = $225^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $15$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15$ = $225^{\frac{1}{2}}$

$\log_{225} (15)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15$ = $225^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15$ = $225^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$ ^☐ = $15$ = $225^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{225} (15)$ = $\log_{225} (225^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $225$ ^{$\frac{1}{2}$} = $15$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.240.256})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{10.240.256}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{10.240.256}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8 < $\frac{1}{10.240.256}$ und auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7 > $\frac{1}{10.240.256}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{10.240.256})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{10.240.256}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
10^-8 = $\frac{1}{10^{8}}$ = $\frac{1}{100000000}$ < $\frac{1}{10.240.256}$ < $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{10} (\frac{1}{10.240.256})$ < -7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $7 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (54)$ - $\log_{3} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (54)$ - $\log_{3} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{54}{2})$

= $\log_{3} (27)$

= $\log_{3} (3^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{3}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $3 \lg (x) + \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{40 x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{40 x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{40} x^{- 2}) + \lg (2 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) - 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) - 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

= $- \lg (40) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze