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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (55)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $55$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $55$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{5}$ = 2⁵ < $55$ und auf $2^{6}$ = 2⁶ > $55$ .

Und da wir bei $\log_{2} (55)$ ja das ☐ von 2^☐ = $55$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^{5}$ < $55$ < $2^{6}$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{2} (55)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 5)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 3})$
= $- \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (\frac{25}{x^{11}}) + \lg (50 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (\frac{25}{x^{11}}) + \lg (50 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (25 x^{- 11}) + \lg (50 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{11}})) + (\lg (50) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{11}}) + \lg (50) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 11 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 250) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 11 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze