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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 1}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (5 870 659)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $5 870 659$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5 870 659$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $5 870 659$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $5 870 659$ .

Und da wir bei $\log_{10} (5 870 659)$ ja das ☐ von 10^☐ = $5 870 659$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $5 870 659$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (5 870 659)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 000 \cdot 2)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 3}) - 2 \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) - 3 \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{2}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{2}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{2}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{2}{x})$

= $- \lg (\frac{2}{5} x^{- 2}) + \lg (2 x^{- 1}) + \lg (2 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{2}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{2}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{2}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (2) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze