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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{144} (\frac{1}{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = $12^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = $144^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $12^{- 1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12^{- 1}$ = ${(144^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$ ^☐ = $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ = $\log_{144} (144^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $144$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (342 431 632)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $342 431 632$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $342 431 632$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{8}$ = 10⁸ < $342 431 632$ und auf $10^{9}$ = 10⁹ > $342 431 632$ .

Und da wir bei $\log_{10} (342 431 632)$ ja das ☐ von 10^☐ = $342 431 632$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = $10^{8}$ < $342 431 632$ < $10^{9}$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < $\log_{10} (342 431 632)$ < 9

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,002)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,002)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.002}{2})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) - 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) - 2 \lg (x^{3})$
= $3 \lg (x) - 6 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{4}}) + \lg (\frac{2}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{7})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5 x^{4}}) + \lg (\frac{2}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{7})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 4}) + \lg (\frac{2}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{2}{5}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{7}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{2}{5}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{7})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{2}{5}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x) + \lg (2) - \lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 7 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze