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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ = $- 8$ , eben weil $10$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{225} (\frac{1}{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = $15^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = $225^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $15^{- 1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15^{- 1}$ = ${(225^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$ ^☐ = $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ = $\log_{225} (225^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $225$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (89)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $89$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $89$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $89$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $89$ .

Und da wir bei $\log_{2} (89)$ ja das ☐ von 2^☐ = $89$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $89$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (89)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{19} (1 083)$ - $\log_{19} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{19} (1 083)$ - $\log_{19} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{19} (\frac{1083}{3})$

= $\log_{19} (361)$

= $\log_{19} (19^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x}) + \lg (20 x^{2}) - \lg (1000 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x}) + \lg (20 x^{2}) - \lg (1000 x)$

= $\lg (5 x^{- 1}) + \lg (20 x^{2}) - \lg (1000 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) - (\lg (1000) + \lg (x))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{2}) - \lg (1000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (1000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (1 000) - \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze