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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{196})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (\frac{1}{196})$ = $- 2$ , eben weil $14$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{196}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (2)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (2)$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (18)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $18$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $18$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $18$ und auf $17^{2}$ = 17² > $18$ .

Und da wir bei $\log_{17} (18)$ ja das ☐ von 17^☐ = $18$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $18$ < $17^{2}$ = 17²

Es gilt somit: 1 < $\log_{17} (18)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100 000}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100 000}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $5 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (2)$ - $\log_{5} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (2)$ - $\log_{5} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{2}{2})$

= $\log_{5} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $4 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x) - 6 \lg (x) - \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{16 x}) + \lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{16 x}) + \lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$

= $\lg (\frac{1}{16} x^{- 1}) + \lg (4 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16}) - \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (16) - \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze