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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{3}}$

$\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{19}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{19}}$ = $19^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ = $\log_{19} (19^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $19^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $19^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ = $\log_{19} (19^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $19$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{19}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{15} (225 x) - \log_{15} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{15} (225 x) - \log_{15} (x)$
= $\log_{15} (225) + \log_{15} (x) - \log_{15} (x)$
= $\log_{15} (15^{2}) + \log_{15} (x) - \log_{15} (x)$
= $2 + \log_{15} (x) - \log_{15} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,2)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,2)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.2}{20})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1000} x) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1000} x) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{1000} x) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (20 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 000) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze