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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{324} (\frac{1}{18})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{18}$ um: $\frac{1}{18}$ = $18^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = $324^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $18^{- 1}$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18^{- 1}$ = ${(324^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{324} (\frac{1}{18})$ = $\log_{324} (18^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$ ^☐ = $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{324} (\frac{1}{18})$ = $\log_{324} (18^{- 1})$ = $\log_{324} (324^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $324$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{18}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{5} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - \lg (x)$
= $8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,5)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,5)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.5}{50})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{4})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x) + 6 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $11 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + 0 + \lg (\frac{1}{40}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + 0 + \lg (1) - \lg (40) + 3 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze