Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{3}}$

$\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $12^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (942 575)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $942 575$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $942 575$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $942 575$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $942 575$ .

Und da wir bei $\log_{10} (942 575)$ ja das ☐ von 10^☐ = $942 575$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $942 575$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (942 575)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (25 000 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000 000)$

= $\lg (10^{8})$

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{20}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{20}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (4 x)$

= $- \lg (20 x^{- 3}) + \lg (5) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (5) + \lg (1)) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $- \lg (20) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (1) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (4) + \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze