Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ = $- 5$ , eben weil $10$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (11)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11$ = $121^{\frac{1}{2}}$

$\log_{121} (11)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (11)$ = $\log_{121} (121^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$\frac{1}{2}$} = $11$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (69253)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $69253$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $69253$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{4}$ = 10⁴ < $69253$ und auf $10^{5}$ = 10⁵ > $69253$ .

Und da wir bei $\log_{10} (69253)$ ja das ☐ von 10^☐ = $69253$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = $10^{4}$ < $69253$ < $10^{5}$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < $\log_{10} (69253)$ < 5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 50)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20) + \lg (\frac{50}{x^{4}}) - \lg (\frac{1 000 000}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20) + \lg (\frac{50}{x^{4}}) - \lg (\frac{1 000 000}{x^{4}})$

= $\lg (20) + \lg (50 x^{- 4}) - \lg (1 000 000 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (1) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (1 000 000) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (20) + \lg (1) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (1 000 000) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 0 + \lg (50) - 4 \lg (x) - \lg (1 000 000) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 0 + \lg (50) - 4 \lg (x) - \lg (1 000 000) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (1 000 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1.000.000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze