Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{121})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (\frac{1}{121})$ = $- 2$ , eben weil $11$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{121}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{\sqrt{13}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{13}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{13}}$ = $13^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{13} (\frac{1}{\sqrt{13}})$ = $\log_{13} (13^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $13^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $13^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{13} (\frac{1}{\sqrt{13}})$ = $\log_{13} (13^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $13$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{13}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 \cdot 25)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{250} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{250} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{9}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{9})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 9 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 9 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze