Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{32})$ = $- 5$ , eben weil $2$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (\frac{1}{11})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{11}$ um: $\frac{1}{11}$ = $11^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11^{- 1}$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11^{- 1}$ = ${(121^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ = $\log_{121} (121^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (56)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $56$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $56$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{5}$ = 2⁵ < $56$ und auf $2^{6}$ = 2⁶ > $56$ .

Und da wir bei $\log_{2} (56)$ ja das ☐ von 2^☐ = $56$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^{5}$ < $56$ < $2^{6}$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{2} (56)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 50)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$
= $4 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x) + \lg (4 x^{3}) - \lg (\frac{16}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4} x) + \lg (4 x^{3}) - \lg (\frac{16}{x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x) + \lg (4 x^{3}) - \lg (16 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x)) + (\lg (4) + \lg (x^{3})) - (\lg (16) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x) + \lg (4) + \lg (x^{3}) - \lg (16) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (16) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (16) + 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze