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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 1}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{117})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{117}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{117}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 < $\frac{1}{117}$ und auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6 > $\frac{1}{117}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{117})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{117}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
2^-7 = $\frac{1}{2^{7}}$ = $\frac{1}{128}$ < $\frac{1}{117}$ < $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6

Es gilt somit: -7 < $\log_{2} (\frac{1}{117})$ < -6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (\frac{1}{x}) + \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (\frac{1}{x}) + \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (1) - \log_{5} (x) + \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (1) - \log_{5} (x) + \log_{5} (x)$
= $0 - \log_{5} (x) + \log_{5} (x)$
=0

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (300)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (300)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{300}{3})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{80} x^{4}) + \lg (\frac{4}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{80} x^{4}) + \lg (\frac{4}{x})$

= $\lg (2 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{80} x^{4}) + \lg (4 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{4})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{4}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) + 4 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) + 4 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

= $- \lg (80) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze