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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\sqrt[3]{11})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{11}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{11}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\sqrt[3]{11}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{11}$ als $11^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $11$ ^☐ = $11^{\frac{1}{3}}$

$\log_{11} (\sqrt[3]{11})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $11$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{11}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (11)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $11$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $11$ und auf $4^{2}$ = 4² > $11$ .

Und da wir bei $\log_{4} (11)$ ja das ☐ von 4^☐ = $11$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $11$ < $4^{2}$ = 4²

Es gilt somit: 1 < $\log_{4} (11)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $9 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,005)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,005)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.005}{5})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{80 x^{7}}) + \lg (20 x) + \lg (4 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{80 x^{7}}) + \lg (20 x) + \lg (4 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{80} x^{- 7}) + \lg (20 x) + \lg (4 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + (\lg (20) + \lg (x)) + (\lg (4) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (4) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) - 7 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (80) - 7 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze