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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt{16})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{16}$ um: $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (45)$ - $\log_{3} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (45)$ - $\log_{3} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{45}{5})$

= $\log_{3} (9)$

= $\log_{3} (3^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{40} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{40} x)$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{40} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{40}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{40}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (40) - \lg (x)$

= $\lg (40) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (40 \cdot 5 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze