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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

$\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (1 000 000 000)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{9}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$

$\log_{100} (1 000 000 000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (1 000 000 000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{9}{2}})$ = $\frac{9}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{9}{2}$} = $1 000 000 000$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,3)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,3)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.3}{3})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 1})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + 3 \lg (x) - \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{50} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{50} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25 x})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{50} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze