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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1000})$ = $- 3$ , eben weil $10$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{169} (\frac{1}{13})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = $13^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = $169^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $13^{- 1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13^{- 1}$ = ${(169^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{169} (\frac{1}{13})$ = $\log_{169} (13^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$ ^☐ = $13^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{169} (\frac{1}{13})$ = $\log_{169} (13^{- 1})$ = $\log_{169} (169^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $169$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (8)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $8$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $8$ und auf $3^{2}$ = 3² > $8$ .

Und da wir bei $\log_{3} (8)$ ja das ☐ von 3^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $8$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (8)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (16)$ + $\log_{4} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (16)$ + $\log_{4} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (16 \cdot 4)$

= $\log_{4} (64)$

= $\log_{4} (4^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{4})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - 4 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{9}}) - \lg (\frac{100}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{9}}) - \lg (\frac{100}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}})$

= $\lg (5 x^{- 9}) - \lg (100 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) - (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) - \lg (100) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 9 \lg (x) - \lg (100) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 9 \lg (x) - \lg (100) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze