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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{256})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{256})$ = $- 8$ , eben weil $2$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10 000 000}$ um: $\sqrt{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10 000 000$ eine Potenz ist: $10 000 000$ = $10^{7}$

Also schreiben wir $\sqrt{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{7})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{7}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10 000 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (73)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $73$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $73$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $73$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $73$ .

Und da wir bei $\log_{5} (73)$ ja das ☐ von 5^☐ = $73$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $73$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (73)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,5)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,5)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.5}{5})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x}) + \lg (4 x^{3}) - \lg (\frac{100}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x}) + \lg (4 x^{3}) - \lg (\frac{100}{x})$

= $\lg (25 x^{- 1}) + \lg (4 x^{3}) - \lg (100 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (4) + \lg (x^{3})) - (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (x^{3}) - \lg (100) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze