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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$ = ${(3^{3})}^{- 1}$ = $3^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{58})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{58}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{58}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^{3}}$ = 4^-3 < $\frac{1}{58}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 > $\frac{1}{58}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{58})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{58}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^{3}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{58}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{4} (\frac{1}{58})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) - \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $2 + \lg (x) - \lg (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 50)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (25 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (25 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}})$

= $- \lg (25 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (25) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (25) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze