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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{256})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{256})$ = $- 8$ , eben weil $2$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (6)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $6$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{2}$ = 2² < $6$ und auf $2^{3}$ = 2³ > $6$ .

Und da wir bei $\log_{2} (6)$ ja das ☐ von 2^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^{2}$ < $6$ < $2^{3}$ = 2³

Es gilt somit: 2 < $\log_{2} (6)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{243}{3})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (2)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (2)$

= $- \lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (5) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (2) + \lg (1))$

= $- \lg (5) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (2) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) + \lg (2) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (2) + 0$

= $\lg (25) - \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{5} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze