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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{16})$ = $- 4$ , eben weil $2$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{225} (\frac{1}{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = $15^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = $225^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $15^{- 1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15^{- 1}$ = ${(225^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$ ^☐ = $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ = $\log_{225} (225^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $225$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{12})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{12}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{12}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 < $\frac{1}{12}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 > $\frac{1}{12}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{12})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{12}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^{3}}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{12}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{3} (\frac{1}{12})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (160)$ - $\log_{2} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (160)$ - $\log_{2} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{160}{5})$

= $\log_{2} (32)$

= $\log_{2} (2^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (10 x^{7}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (10 x^{7}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}})$

= $- \lg (10 x^{7}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (10) + \lg (x^{7})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (10) - \lg (x^{7}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (10) - 7 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (10) - 7 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze