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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (5)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $5$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $5$ und auf $3^{2}$ = 3² > $5$ .

Und da wir bei $\log_{3} (5)$ ja das ☐ von 3^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $5$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (5)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (5)$ - $\log_{4} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (5)$ - $\log_{4} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{5}{5})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (100 x) + \lg (\frac{5}{x^{3}}) + \lg (2 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (100 x) + \lg (\frac{5}{x^{3}}) + \lg (2 x^{2})$

= $\lg (100 x) + \lg (5 x^{- 3}) + \lg (2 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (100) + \lg (x) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (100) + \lg (x) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (100) + \lg (x) + \lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (100) + \lg (x) + \lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $\lg (100) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (100 \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze