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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

$\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (123)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $123$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $123$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $123$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $123$ .

Und da wir bei $\log_{5} (123)$ ja das ☐ von 5^☐ = $123$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $123$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (123)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 000 \cdot 20)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $- 2 \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{8}) + \lg (\frac{1}{500})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{8}) + \lg (\frac{1}{500})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{8})) + (\lg (\frac{1}{500}) + \lg (1))$

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{8}) + \lg (\frac{1}{500}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 8 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 8 \lg (x) + \lg (1) - \lg (500) + 0$

= $- 5 \lg (x) - \lg (500) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 20)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze