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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $91$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $91$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $91$ und auf $5^3$ = 5³ > $91$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $91$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $91$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(\frac{100}{x}\right)+\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(\mathrm{0,4}\right)$ - $\lg \left(4\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(\mathrm{0,4}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.4}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $4\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(20x\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(20x\right)$

= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(1\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(1\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(1\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$