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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 1}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{5} (2)$ ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{5} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (320)$ - $\log_{2} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (320)$ - $\log_{2} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{320}{5})$

= $\log_{2} (64)$

= $\log_{2} (2^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2})$
= $\lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 3 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze