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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{1 000 000 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1 000 000 000}$ um: $\frac{1}{1 000 000 000}$ = ${1 000 000 000}^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\frac{1}{1 000 000 000}$ = ${1 000 000 000}^{- 1}$ = ${(10^{9})}^{- 1}$ = $10^{- 9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 9}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{1 000 000 000})$ = $\log_{100} (10^{- 9})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{1 000 000 000})$ = $\log_{100} (10^{- 9})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{9}{2}})$ = $- \frac{9}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{9}{2}$} = $\frac{1}{1 000 000 000}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $5 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (100 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (100 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{5}})$

= $- \lg (100 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $- \lg (100) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 5 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze