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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = $10^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{41})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{41}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{41}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{225}$ = $\frac{1}{15^{2}}$ = 15^-2 < $\frac{1}{41}$ und auf $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1 > $\frac{1}{41}$ .

Und da wir bei $\log_{15} (\frac{1}{41})$ ja das ☐ von 15^☐ = $\frac{1}{41}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
15^-2 = $\frac{1}{15^{2}}$ = $\frac{1}{225}$ < $\frac{1}{41}$ < $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 15^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{15} (\frac{1}{41})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200 000 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 000 \cdot 5)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) - \lg (400 000 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) - \lg (400 000 x^{2})$

= $\lg (20) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2}) - \lg (400 000 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (400 000) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (400 000) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) - \lg (400 000) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 0 - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (400 000) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (400 000) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400.000} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze