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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{361})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (\frac{1}{361})$ = $- 2$ , eben weil $19$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{361}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (27)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$

$\log_{9} (27)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (27)$ = $\log_{9} (9^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (2 312 198)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $2 312 198$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2 312 198$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $2 312 198$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $2 312 198$ .

Und da wir bei $\log_{10} (2 312 198)$ ja das ☐ von 10^☐ = $2 312 198$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $2 312 198$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (2 312 198)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (64)$ - $\log_{4} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (64)$ - $\log_{4} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{64}{4})$

= $\log_{4} (16)$

= $\log_{4} (4^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 3}) - 2 \lg (x^{- 2})$
= $- 3 \lg (x) - 3 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{8 x^{2}}) + \lg (4 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{8 x^{2}}) + \lg (4 x^{3})$

= $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{8} x^{- 2}) + \lg (4 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (4) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (4) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) - 2 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) - 2 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze