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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{361})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (\frac{1}{361})$ = $- 2$ , eben weil $19$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{361}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{15})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{15}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{15}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 < $\frac{1}{15}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 > $\frac{1}{15}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{15})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{15}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^{3}}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{15}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{3} (\frac{1}{15})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 20)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{3})$
= $6 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50) - \lg (250 x^{5}) + \lg (5 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50) - \lg (250 x^{5}) + \lg (5 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (1) - (\lg (250) + \lg (x^{5})) + (\lg (5) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (50) + \lg (1) - \lg (250) - \lg (x^{5}) + \lg (5) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 0 - \lg (250) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 0 - \lg (250) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze