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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\sqrt[5]{19})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{19}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\sqrt[5]{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{19}$ als $19^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$ ^☐ = $19^{\frac{1}{5}}$

$\log_{19} (\sqrt[5]{19})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $19$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{19}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{22})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{22}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{22}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 < $\frac{1}{22}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{22}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{22})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{22}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^{2}}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{22}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{5} (\frac{1}{22})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{2})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{2})$
= $- 8 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{5}{x^{9}}) + \lg (\frac{1}{250} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{5}{x^{9}}) + \lg (\frac{1}{250} x)$

= $\lg (50 x^{3}) + \lg (5 x^{- 9}) + \lg (\frac{1}{250} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{9}})) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 9 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 9 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) + \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze