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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

$\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (11 322 244)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $11 322 244$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11 322 244$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $11 322 244$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $11 322 244$ .

Und da wir bei $\log_{10} (11 322 244)$ ja das ☐ von 10^☐ = $11 322 244$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $11 322 244$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (11 322 244)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (20)$ - $\log_{4} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (20)$ - $\log_{4} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{20}{20})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x}) + \lg (\frac{1}{200 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x}) + \lg (\frac{1}{200 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$

= $\lg (5 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{200} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{200}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{200}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{200}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (200) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (200) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200} \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze