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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\sqrt{13})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = $13^{\frac{1}{2}}$

$\log_{13} (\sqrt{13})$ = $\log_{13} (13^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $13^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $13^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{13} (\sqrt{13})$ = $\log_{13} (13^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $13$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{14})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{14}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{14}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 < $\frac{1}{14}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{14}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{14})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{14}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^{2}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{14}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{4} (\frac{1}{14})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (1) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (1) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $0 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
=0

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{17} (1 156)$ - $\log_{17} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{17} (1 156)$ - $\log_{17} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{17} (\frac{1156}{4})$

= $\log_{17} (289)$

= $\log_{17} (17^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $- 6 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{4}{x^{4}}) - \lg (8)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{4}{x^{4}}) - \lg (8)$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 2}) + \lg (4 x^{- 4}) - \lg (8)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (8) + \lg (1))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (8) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 4 \lg (x) - \lg (8) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 4 \lg (x) - \lg (8) + 0$

= $- 2 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze