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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (188)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $188$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $188$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $188$ und auf $15^{2}$ = 15² > $188$ .

Und da wir bei $\log_{15} (188)$ ja das ☐ von 15^☐ = $188$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $188$ < $15^{2}$ = 15²

Es gilt somit: 1 < $\log_{15} (188)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- 2}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) + \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{250}{x}) + \lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{250}{x}) + \lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5})$

= $- \lg (250 x^{- 1}) + \lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (250) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (50) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (1))$

= $- \lg (250) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (250) + \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (250) + \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 0$

= $4 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze