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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

$\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$ = ${(2^{5})}^{- 1}$ = $2^{- 5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 5}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (6)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $6$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{2}$ = 2² < $6$ und auf $2^{3}$ = 2³ > $6$ .

Und da wir bei $\log_{2} (6)$ ja das ☐ von 2^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^{2}$ < $6$ < $2^{3}$ = 2³

Es gilt somit: 2 < $\log_{2} (6)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100}{x}) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100}{x}) - \lg (x)$
= $\lg (100) - \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) - \lg (x) - \lg (x)$
= $2 - \lg (x) - \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{40}{4})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (4 x^{2}) - \lg (\frac{16 000}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (4 x^{2}) - \lg (\frac{16 000}{x})$

= $\lg (4 x^{- 3}) + \lg (4 x^{2}) - \lg (16000 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (4) + \lg (x^{2})) - (\lg (16000) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (4) + \lg (x^{2}) - \lg (16000) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (16000) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (16 000) + \lg (x)$

= $- \lg (16 000) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16000} \cdot 4 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze