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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$ = ${(2^{5})}^{- 1}$ = $2^{- 5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 5}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (11)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $11$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $11$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $11$ .

Und da wir bei $\log_{2} (11)$ ja das ☐ von 2^☐ = $11$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $11$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (11)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{18} (648)$ - $\log_{18} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{18} (648)$ - $\log_{18} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{18} (\frac{648}{2})$

= $\log_{18} (324)$

= $\log_{18} (18^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{2})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{50 x}) - \lg (\frac{200}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{50 x}) - \lg (\frac{200}{x^{3}})$

= $\lg (4 x^{- 8}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) - \lg (200 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (200) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (200) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 8 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x) - \lg (200) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 8 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + \lg (x) - \lg (200) + 3 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze