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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{289})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (\frac{1}{289})$ = $- 2$ , eben weil $17$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{289}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (7)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $7$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $7$ und auf $3^{2}$ = 3² > $7$ .

Und da wir bei $\log_{3} (7)$ ja das ☐ von 3^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $7$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (7)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $5 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 \cdot 20)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + 2 \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{- 1}) + 2 \lg (x^{2})$
= $- \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1 250 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1 250 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (25 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{1250} x^{- 5}) - \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 250) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze