Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{324})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{18} (\frac{1}{324})$ = $- 2$ , eben weil $18$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{324}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (140)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $140$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $140$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{7}$ = 2⁷ < $140$ und auf $2^{8}$ = 2⁸ > $140$ .

Und da wir bei $\log_{2} (140)$ ja das ☐ von 2^☐ = $140$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^{7}$ < $140$ < $2^{8}$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{2} (140)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{12} (144 x) - \log_{12} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{12} (144 x) - \log_{12} (x)$
= $\log_{12} (144) + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $\log_{12} (12^{2}) + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $2 + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200 000 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 000 \cdot 5)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2 000 x}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2 000 x}) + \lg (5 x^{3})$

= $\lg (4 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{2000} x^{- 1}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (\frac{1}{2000}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2000}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2000}) - \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 000) - \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (2 000) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000} \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze