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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (10)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = $100^{\frac{1}{2}}$

$\log_{100} (10)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (10)$ = $\log_{100} (100^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{4} (3)$ ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (5)$ - $\log_{4} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (5)$ - $\log_{4} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{5}{5})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 3 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x^{3}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2} x^{3}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (4) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze