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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (100 000)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{5}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{5}$ = $100^{\frac{5}{2}}$

$\log_{100} (100 000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{5}$ = $100^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{5}$ = $100^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{5}$ = $100^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (100 000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{5}{2}$} = $100 000$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{42})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{42}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{42}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^{3}}$ = 4^-3 < $\frac{1}{42}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 > $\frac{1}{42}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{42})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{42}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^{3}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{42}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{4} (\frac{1}{42})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 50)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{3}}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (4 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{3}}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (4 x^{4})$

= $\lg (5 x^{- 3}) + \lg (50 x^{- 1}) + \lg (4 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (4) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze