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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ = $- 5$ , eben weil $10$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (194 326 347)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $194 326 347$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $194 326 347$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{8}$ = 10⁸ < $194 326 347$ und auf $10^{9}$ = 10⁹ > $194 326 347$ .

Und da wir bei $\log_{10} (194 326 347)$ ja das ☐ von 10^☐ = $194 326 347$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = $10^{8}$ < $194 326 347$ < $10^{9}$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < $\log_{10} (194 326 347)$ < 9

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (16 x) - \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (16 x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (16) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4^{2}) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $2 + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (1 600)$ - $\log_{2} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (1 600)$ - $\log_{2} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{1600}{50})$

= $\log_{2} (32)$

= $\log_{2} (2^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- 3}) - 2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 3 \lg (x) + 4 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{100 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{100 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$

= $\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze