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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{196})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (\frac{1}{196})$ = $- 2$ , eben weil $14$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{196}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $5^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (67)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $67$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $67$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $67$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $67$ .

Und da wir bei $\log_{3} (67)$ ja das ☐ von 3^☐ = $67$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $67$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (67)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) + \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (25 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze