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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{289} (\frac{1}{17})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{17}$ um: $\frac{1}{17}$ = $17^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = $289^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $17^{- 1}$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

$17^{- 1}$ = ${(289^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{289} (\frac{1}{17})$ = $\log_{289} (17^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$ ^☐ = $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{289} (\frac{1}{17})$ = $\log_{289} (17^{- 1})$ = $\log_{289} (289^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $289$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{17}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (53)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $53$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $53$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $53$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $53$ .

Und da wir bei $\log_{5} (53)$ ja das ☐ von 5^☐ = $53$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $53$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (53)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (5 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (5 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $1 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 2)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 2})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \frac{9}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{7}}) + \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (25 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{7}}) + \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (25 x^{4})$

= $\lg (2 x^{- 7}) + \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (25 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3})) + (\lg (25) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 7 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 7 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{5} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze