• Klasse 5-6
  • Größen
  • Natürliche Zahlen
    • Verortung
    • Grundrechenarten
    • Zahlensysteme
    • Rechenregeln
      • Klammern
      • Rechenreihenfolge
      • Punkt vor Strich
      • Ausmultiplizieren, Ausklammern
      • Potenzen
      • Teilbarkeit
    • A³
  • Geometrie
    • Koordinatensystem
    • Flächen
    • Körper
    • Abstand und Inhalt
    • Winkel
  • Ganze Zahlen
    • Zahlengerade - KoSy
    • Plus und Minus
    • Mal und Geteilt
    • Rechenregeln
      • weitere vermischte Terme
    • A³
  • Brüche - rationale Zahlen
    • Bruchverständnis
    • Bruch <-> Dezimalzahl
      • Größen - Einheiten
    • Addieren, Subtrahieren
    • Multiplizieren
    • Dividieren
    • Punkt- und Strichrechnung
    • A³
    • Basis
  • rationale Zahlen (dezimal)
    • Addieren, Subtrahieren
    • Punkt- und Strichrechnung
    • verschiedene Darstellungen
  • Dreisatz
    • proportional
    • antiproportional
  • Daten
• Klasse 7-8
  • Algebra
    • Zahlterme
      • Rechnen mit rationalen Zahlen
      • Terme
    • lineare Gleichungen
    • Prozentrechnung
      • Prozentsatz bestimmen
      • Prozentwert bestimmen
      • Grundwert bestimmen
      • Zinsrechnung
      • vermischtes (A³)
    • Terme 2 Variablen (Kl. 8)
      • Terme einsetzen
      • Terme aufstellen
      • Terme vereinfachen
      • ausmultiplizieren
      • Binomische Formeln
      • ausklammern
      • Formeln umstellen
    • Wurzeln
      • Wurzeln ohne WTR
      • Rechnen mit Wurzeln
      • Teilweises Wurzelziehen
      • Kubikwurzel
    • quadratische Gleichungen
      • reinquadratisch
      • Nullprodukt
      • a-b-c-Formel (MNF)
      • Linearfaktordarstellung
        • mit y statt f(x)
      • Ungleichungen
      • p-q-Formel
    • Bruchgleichungen
      • linear
      • quadratisch
    • LGS
  • Analysis
    • lineare Funktionen
    • quadr. Funktionen
      • Normalparabel
      • Verschiebung Parabel
      • Versch. Parabel -> y statt f(x)
      • Streckung
      • Streckung -> y statt f(x)
      • umwandeln in Scheitelform
      • umw. in Scheitelform-> y statt f(x)
  • Geometrie
    • Dreiecke konstruieren
    • mit Winkeln begründen
      • an Parallelen
      • Winkelsumme
      • gleichschenkl. Dr.
      • Thaleskreis
    • In- und Umkreis
    • Strahlensätze
      • zentrische Streckung
      • 1. Strahlensatz
        • Teilaufgaben
      • 2. Strahlensatz
        • Teilaufgaben
  • Stochastik
    • Boxplots
    • Zufallsexperimente
    • Kombinatorik
  • IMP
    • MGK Klasse 8
  • Informatik
• Klasse 9-10
  • Algebra
    • Potenzen
      • Rechnen mit Potenzen
      • Potenzgesetze
      • Potenzen mit rationalen Hochzahlen
    • Potenzgleichungen
    • Polynomgleichungen
    • Logarithmus
    • Exponentialgleichungen
    • Wurzelgleichungen
  • Analysis
    • Potenzfunktionen
      • Funktionsbegriff
      • nach x auflösen
      • Verschiebung / Streckung
      • Termbestimmung
    • Exponentialfunktionen
      • Funktionsterm bestimmen
      • Verschiebung / Streckung
      • exponent. Wachstum
    • Ganzrationale Fkt'n
      • Funktionsbegriff
      • Verschiebung/Streckung
      • Grenzverhalten-Symmetrie
      • Nullstellen
    • Differentialrechnung
      • Differenzenquotient
      • graphisch
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • ganzrational
      • Tangenten
      • auch mit trigonom. Fktn.
    • Funktionsuntersuchung
      • Monotonieverhalten
      • Extrempunkte
      • Krümmung, Wendepunkte
      • Anwendungen
  • Geometrie
    • Ähnlichkeit
    • Pythagoras
    • Kreise
      • Umfang und Fläche
      • Kreisausschnitte
      • Anwendungen
    • Körper
      • Quader
      • Prismen
      • Zylinder
      • Pyramiden
      • Kegel
      • Kugel
      • zusammengesetzt
    • Analytische Geometrie
      • 3D-KoSy
      • Vektorrechnung
      • Geraden
      • Bewegungsaufgaben
  • Trigonometrie
    • im rechtwinklig. Dreieck
      • Sinus einzeln
      • Kosinus einzeln
      • Tangens einzeln
    • Anwendungen
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß
    • trigonometr. Funktionen
    • Differentialrechn. Trigon.
  • Stochastik
    • Erwartungswert
    • Vierfeldertafel
    • Binomialverteilung
      • Basics
        • ohne Text-Anwendungen
      • Rückwärtsaufgaben
      • Erwartungswert, Standardabweichung
      • Anwendungen
        • ohne Text-Anwendungen
  • IMP
    • MGK Klasse 9
    • MGK Klasse 10
    • FIS Klasse 10
  • Informatik
• Kursstufe
  • Analysis
    • Ableiten
      • am Schaubild
      • ganzrationale Fktn.
      • Ketten- und Produktregel
      • Tangenten
      • mit e-Funktionen
      • mit Parameter
    • Kurvenuntersuchung
      • Extrem- + Wendepkte
        • Algebra-Support
      • am Schaubild ohne Stammfkt.
      • am Schaubild mit Stammfkt.
      • Verschiebung u.ä.
      • Asymptoten
      • e-Funktion
      • Umkehrfunktion
      • allgemein
      • mit Parameter
        • ohne_e (einzeln)
    • Gleichungen
      • Nullprodukt
      • Polynomgleichungen
      • Exponentialgleichungen
      • Trigonometrische Gleichungen
      • vermischte Gleichungen
    • Integralrechnung
      • Änderungsrate -> Bestand
      • Stammfunktionen
      • Integrale
      • Flächen berechnen
      • Anwendungen
      • Rotationskörper
      • mit Parameter
    • Wachstum
    • Trigonometrie
    • Terme
  • Analytische Geometrie
    • LGS
    • Koordinatenform Ebene
      • Ebenen aufstellen
      • Ebenen bestimmen
      • Ebenen zeichnen
    • Orthogonalität
      • einfache Bedingung
      • Zwei Bedingungen
    • Gegenseitige Lagen - Schnitte
    • Abstände
    • Winkel
    • Flächen und Volumen
    • Anwendungsaufgaben
    • Bewegungsaufgaben
    • Parameteraufgaben
      • Teilaufgaben
  • Stochastik
    • Pfadregel, Kombinatorik
    • Erwartungswerte
      • Wiederholung aus 9/10
      • komplexere Erwartungswerte
    • Binomialverteilung u. ä.
      • Wiederholung aus 9/10
      • Rückwärtsaufgaben
      • Erwartungsw., Standardabw.
      • Anwendungen
      • Tests
    • Normalverteilung
  • Informatik
• cosh
  • Gleichungen
    • lineare Gleichungen
    • quadratische Gleichungen
    • Bruchgleichungen
    • Wurzelgleichungen
    • Potenzgleichungen
    • Exponentialgleichungen
    • Trigonometrische Gleichungen
    • Betragsgleichungen
    • Gleichungen mit Substitution
    • durch Faktorisieren
    • mit geeigneter Methode
    • Lineare Gleichungssysteme
  • Bruchrechnen
    • Brüche vereinfachen
    • ein-Schritt vereinfachen
    • Terme geschickt vereinfachen
    • Doppelbrüche
  • Trigonometrie
    • im rechtwinkligen Dreieck
    • Anwendungen
    • am Einheitskreis
    • Bogenmaß
  • Funktionen
    • Ableiten
    • Funktionsuntersuchungen
    • Integralrechnung
    • Exponentialfunktionen / Logarithmen
    • Eigenschaften von Funktionen
  • MiAnKa
  • Stochastik

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $6$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $6$ und auf $3^2$ = 3² > $6$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $6$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(1000000000x\right)-4\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(500\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{500}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(4x^4\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(4x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+0-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$