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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\sqrt[5]{18})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{18}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\sqrt[5]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{18}$ als $18^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$ ^☐ = $18^{\frac{1}{5}}$

$\log_{18} (\sqrt[5]{18})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $18$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{18}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{100 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{100 000}$ um: $\frac{1}{100 000}$ = ${100 000}^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{100 000}$ = ${100 000}^{- 1}$ = ${(10^{5})}^{- 1}$ = $10^{- 5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 5}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{100 000})$ = $\log_{100} (10^{- 5})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{100 000})$ = $\log_{100} (10^{- 5})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{100 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $7 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 20)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 1})$
= $\lg (x) - \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100 x^{3}}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{5}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100 x^{3}}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{5}{x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{- 3}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (5 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) - 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) - 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze