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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (196)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (196)$ = $2$ , eben weil $14$ ^$2$ = $196$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{121})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (\frac{1}{121})$ = $- 2$ , eben weil $11$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{121}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = $10^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 1}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (2 775 803)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $2 775 803$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2 775 803$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $2 775 803$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $2 775 803$ .

Und da wir bei $\log_{10} (2 775 803)$ ja das ☐ von 10^☐ = $2 775 803$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $2 775 803$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (2 775 803)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (4 x) - \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (4 x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $1 + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5000}{50})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{4})$
= $- 3 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{10}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{10} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{10}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{10} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{10}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{10})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{10}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 10 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 10 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze