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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = $10^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 1}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (895)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $895$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $895$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{2}$ = 10² < $895$ und auf $10^{3}$ = 10³ > $895$ .

Und da wir bei $\log_{10} (895)$ ja das ☐ von 10^☐ = $895$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = $10^{2}$ < $895$ < $10^{3}$ = 10³

Es gilt somit: 2 < $\log_{10} (895)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,3)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,3)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.3}{3})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 3})$
= $- \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{250} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{250} x^{3})$

= $\lg (50) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{250} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (50) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 0 - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 0 - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) + 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze