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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (289)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (289)$ = $2$ , eben weil $17$ ^$2$ = $289$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

$\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{144} (\frac{1}{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = $12^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = $144^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $12^{- 1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12^{- 1}$ = ${(144^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$ ^☐ = $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ = $\log_{144} (144^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $144$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (74)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $74$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $74$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $74$ und auf $12^{2}$ = 12² > $74$ .

Und da wir bei $\log_{12} (74)$ ja das ☐ von 12^☐ = $74$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $74$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (74)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $7 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{40}{4})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{8}{x}) + \lg (\frac{25}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{8}{x}) + \lg (\frac{25}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (8 x^{- 1}) + \lg (25 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (8) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (8) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (8) - \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (8) - \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (8) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 8 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze