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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (72)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $72$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $72$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $72$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $72$ .

Und da wir bei $\log_{5} (72)$ ja das ☐ von 5^☐ = $72$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $72$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (72)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 000 \cdot 2)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{2})$
= $- 3 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$

= $\lg (\frac{1}{100}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (25 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 0 - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 0 - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze