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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{256})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $16$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $16$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{16} (\frac{1}{256})$ = $- 2$ , eben weil $16$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{133})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{133}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{133}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{169}$ = $\frac{1}{13^{2}}$ = 13^-2 < $\frac{1}{133}$ und auf $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1 > $\frac{1}{133}$ .

Und da wir bei $\log_{13} (\frac{1}{133})$ ja das ☐ von 13^☐ = $\frac{1}{133}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13^-2 = $\frac{1}{13^{2}}$ = $\frac{1}{169}$ < $\frac{1}{133}$ < $\frac{1}{13}$ = $\frac{1}{13}$ = 13^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{13} (\frac{1}{133})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (15)$ - $\log_{5} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (15)$ - $\log_{5} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{15}{3})$

= $\log_{5} (5)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{4}) + \lg (\frac{1}{800})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{4}) + \lg (\frac{1}{800})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{800}) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{800}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{800}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (800) + 0$

= $- \lg (800) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze