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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{8})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{8})$ = $- 3$ , eben weil $2$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (411 659)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $411 659$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $411 659$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $411 659$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $411 659$ .

Und da wir bei $\log_{10} (411 659)$ ja das ☐ von 10^☐ = $411 659$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $411 659$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (411 659)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{20})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{200 x}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (50 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{200 x}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (50 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{200} x^{- 1}) + \lg (4 x^{- 3}) + \lg (50 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200}) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (50) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{200}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200}) - \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (200) - \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze