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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ = $- 8$ , eben weil $10$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (2)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2$ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (2)$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $2$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{49})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{49}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{49}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6 < $\frac{1}{49}$ und auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5 > $\frac{1}{49}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{49})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{49}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
2^-6 = $\frac{1}{2^{6}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{49}$ < $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5

Es gilt somit: -6 < $\log_{2} (\frac{1}{49})$ < -5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{2}) - 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{2}) - 2 \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $4 \lg (x) - \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{1}{10 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{1}{10 x^{2}})$

= $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{1}{10} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) - 2 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze