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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$ = ${(2^{5})}^{- 1}$ = $2^{- 5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 5}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (22)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $22$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $22$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $22$ .

Und da wir bei $\log_{3} (22)$ ja das ☐ von 3^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $22$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (22)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $7 - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 20)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 3}) - 2 \lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{4})$
= $- 3 \lg (x) - 8 \lg (x) + 16 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{1}{10 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{1}{10 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 3}) + \lg (2 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{10} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 3 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) - 2 \lg (x)$

= $\lg (50) - \lg (10) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{10} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze