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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{64})$ = $- 6$ , eben weil $2$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{321.987.766})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{321.987.766}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{321.987.766}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{10^{9}}$ = 10^-9 < $\frac{1}{321.987.766}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8 > $\frac{1}{321.987.766}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{321.987.766})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{321.987.766}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{10^{9}}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{321.987.766}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < $\log_{10} (\frac{1}{321.987.766})$ < -8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 5)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{4 000 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{4 000 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x})$

= $\lg (\frac{1}{4000} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (4 000) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x)$

= $- \lg (4 000) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000} \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze