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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (10000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (10000)$ = $4$ , eben weil $10$ ^$4$ = $10000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = $15^{\frac{1}{2}}$

$\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $15^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (34)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $34$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $34$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $34$ und auf $11^{2}$ = 11² > $34$ .

Und da wir bei $\log_{11} (34)$ ja das ☐ von 11^☐ = $34$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $34$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (34)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$
= $2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{4})$
= $- 2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{20 x^{8}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{20 x^{8}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (5 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{20} x^{- 8}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 4}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) - 8 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (20) - 8 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze