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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$ = ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{16})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{16}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{16}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 < $\frac{1}{16}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 > $\frac{1}{16}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{16})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{16}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^{3}}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{3} (\frac{1}{16})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{20}{2})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2})$

= $\lg (4 x^{- 6}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze