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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{8})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{8})$ = $- 3$ , eben weil $2$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\sqrt{18})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{18}$ um: $\sqrt{18}$ = $18^{\frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\sqrt{18})$ = $\log_{18} (18^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\sqrt{18})$ = $\log_{18} (18^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{18} (301)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $18$ er-Potenzen in der Näher von $301$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $301$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $301$ und auf $18^{2}$ = 18² > $301$ .

Und da wir bei $\log_{18} (301)$ ja das ☐ von 18^☐ = $301$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $301$ < $18^{2}$ = 18²

Es gilt somit: 1 < $\log_{18} (301)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $1 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{125 000 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{125 000 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x})$

= $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{125.000} x^{- 2}) + \lg (25 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125.000}) - 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125 000) - 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

= $- \lg (125 000) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze