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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{128})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{128})$ = $- 7$ , eben weil $2$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{64}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{5} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (64 x) - \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (64 x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (64) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{6}) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $6 + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{11} (363)$ - $\log_{11} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{11} (363)$ - $\log_{11} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{11} (\frac{363}{3})$

= $\log_{11} (121)$

= $\log_{11} (11^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{4}) + \lg (x^{- 1})$
= $16 \lg (x) + 4 \lg (x) - \lg (x)$
= $19 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{5}) + \lg (\frac{2}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{5}) + \lg (\frac{2}{x})$

= $\lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{5}) + \lg (2 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{5})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{5}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 5 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 5 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze