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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (27) .

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Wir suchen den Logarithmus von 27 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 27 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 27 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (27) = 3, eben weil 33 = 27 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 16 ( 1 256 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 256 zur Basis 16, also die Hochzahl mit der man 16 potenzieren muss, um auf 1 256 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 16 = 1 256 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 16-Potenz zu schreiben versuchen, also 16 = 1 256

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 16 ( 1 256 ) = -2, eben weil 16-2 = 1 256 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 9 ( 3 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis 9 suchen und 9 gerade 3² ist (also 3 = 9 = 9 1 2 ), formen wir 3 noch so um, dass sie 9 als Basis hat:

3 = 9 1 2

log 9 ( 3 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 = 9 1 2 zur Basis 9 suchen, also die Hochzahl mit der man 9 potenzieren muss, um auf 3 = 9 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 9 = 3 = 9 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 9 ( 3 ) = log 9 ( 9 1 2 ) = 1 2 , eben weil 9 1 2 = 3 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 13 ( 1 133 ) liegt.

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Wir suchen 13er-Potenzen in der Näher von 1 133 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 133 ist.

Dabei kommt man auf 1 169 = 1 13 2 = 13-2 < 1 133 und auf 1 13 = 1 13 = 13-1 > 1 133 .

Und da wir bei log 13 ( 1 133 ) ja das ☐ von 13 = 1 133 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
13-2 = 1 13 2 = 1 169 < 1 133 < 1 13 = 1 13 = 13-1

Es gilt somit: -2 < log 13 ( 1 133 ) < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10x ) -2 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10x ) -2 lg( x )
= lg( 10 ) + lg( x ) -2 lg( x )
= 1 + lg( x ) -2 lg( x )
= - lg( x ) +1

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 5 ( 15 ) - log 5 ( 3 ) .

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log 5 ( 15 ) - log 5 ( 3 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 5 ( 15 3 )

= log 5 ( 5 )

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x )
= lg( x - 1 2 )
= - 1 2 lg( x )
= - 1 2 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x 4 ) - lg( 1 20 x 4 ) + lg( 1 800 ) soweit wie möglich.

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lg( 4 x 4 ) - lg( 1 20 x 4 ) + lg( 1 800 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( x 4 ) - ( lg( 1 20 ) + lg( x 4 ) ) + ( lg( 1 800 ) + lg( 1 ) )

= lg( 4 ) + lg( x 4 ) - lg( 1 20 ) - lg( x 4 ) + lg( 1 800 ) + lg( 1 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) +4 lg( x ) - lg( 1 20 ) -4 lg( x ) + lg( 1 800 ) +0

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) +4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) -4 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 800 ) +0

= - lg( 800 ) + lg( 20 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 800 · 20 · 4 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1