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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{289})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (\frac{1}{289})$ = $- 2$ , eben weil $17$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{289}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{64})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{72})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{72}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{72}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{72}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{72}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{72})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{72}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{72}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{72})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 5)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$
= $2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{4}) + \lg (x^{4})$
= $- 2 \lg (x) + 4 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{625} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{625} x^{3})$

= $\lg (25 x^{2}) + \lg (25 x^{- 6}) + \lg (\frac{1}{625} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (\frac{1}{625}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{625}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{625}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (625) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (625) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{625} \cdot 25 \cdot 25)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze