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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{32})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{32}$ um: $\sqrt{32}$ = $32^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\sqrt{32}$ = $32^{\frac{1}{2}}$ = ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{5}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{32})$ = $\log_{2} (2^{\frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{32})$ = $\log_{2} (2^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{32}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (24)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $24$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $24$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $24$ und auf $5^{2}$ = 5² > $24$ .

Und da wir bei $\log_{5} (24)$ ja das ☐ von 5^☐ = $24$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $24$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (24)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $7 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x) - 2 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100.000} x^{4}) - \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{2}{x^{7}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100.000} x^{4}) - \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{2}{x^{7}})$

= $\lg (\frac{1}{100.000} x^{4}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 3}) + \lg (2 x^{- 7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{7}}))$

= $\lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{7}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100 000) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 7 \lg (x)$

= $- \lg (100 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze