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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

$\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (17)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $17$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $17$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $17$ und auf $5^{2}$ = 5² > $17$ .

Und da wir bei $\log_{5} (17)$ ja das ☐ von 5^☐ = $17$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $17$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (17)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (8) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{3}) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $3 + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 \cdot 25)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{2} x) - \lg (\frac{1}{4} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{2} x) - \lg (\frac{1}{4} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$

= $\lg (\frac{25}{2} x) - \lg (\frac{1}{4} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{2}) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{25}{2}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{2}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (2) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 20 \cdot 4}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze