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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000)$ = $5$ , eben weil $10$ ^$5$ = $100 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

$\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (23)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $23$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $23$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $23$ und auf $5^{2}$ = 5² > $23$ .

Und da wir bei $\log_{5} (23)$ ja das ☐ von 5^☐ = $23$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $23$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (23)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{40}{4})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (25 x^{2})$

= $\lg (2 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (1)) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5000}) + 0 + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5 000) + 0 + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (5 000) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze