Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (225)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $225$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $225$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $225$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (225)$ = $2$ , eben weil $15$ ^$2$ = $225$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

$\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{19}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{19}}$ = $19^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ = $\log_{19} (19^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $19$ suchen, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $19^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $19^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{19} (\frac{1}{\sqrt{19}})$ = $\log_{19} (19^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $19$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{19}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{7592})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7592}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7592}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{7592}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{7592}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{7592})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{7592}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{7592}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{7592})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{12} (144 x) - \log_{12} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{12} (144 x) - \log_{12} (x)$
= $\log_{12} (144) + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $\log_{12} (12^{2}) + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $2 + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{16} x^{3}) + \lg (\frac{4}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{4} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{16} x^{3}) + \lg (\frac{4}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{4} x)$

= $\lg (\frac{1}{16} x^{3}) + \lg (4 x^{- 7}) - \lg (\frac{1}{4} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (x^{3}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{7}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (x^{3}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16}) + 3 \lg (x) + \lg (4) - 7 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (16) + 3 \lg (x) + \lg (4) - 7 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze