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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\sqrt{11})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{11}$ um: $\sqrt{11}$ = $11^{\frac{1}{2}}$

$\log_{11} (\sqrt{11})$ = $\log_{11} (11^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $11$ suchen, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $11^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $11^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{11} (\sqrt{11})$ = $\log_{11} (11^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $11$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{140})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{140}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{140}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{144}$ = $\frac{1}{12^{2}}$ = 12^-2 < $\frac{1}{140}$ und auf $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1 > $\frac{1}{140}$ .

Und da wir bei $\log_{12} (\frac{1}{140})$ ja das ☐ von 12^☐ = $\frac{1}{140}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
12^-2 = $\frac{1}{12^{2}}$ = $\frac{1}{144}$ < $\frac{1}{140}$ < $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{12}$ = 12^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{12} (\frac{1}{140})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{17} (289 x) - \log_{17} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{17} (289 x) - \log_{17} (x)$
= $\log_{17} (289) + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $\log_{17} (17^{2}) + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $2 + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,3)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,3)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.3}{3})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{4 x^{3}}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{4 x^{3}}) + \lg (4 x)$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (\frac{25}{4} x^{- 3}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{25}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{25}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{25}{4}) - 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 4)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze