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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (44)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $44$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $44$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $44$ und auf $19^{2}$ = 19² > $44$ .

Und da wir bei $\log_{19} (44)$ ja das ☐ von 19^☐ = $44$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $44$ < $19^{2}$ = 19²

Es gilt somit: 1 < $\log_{19} (44)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5}{50})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1})$
= $3 \lg (x) + 2 \lg (x) - \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{125 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{125 x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{125} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) - 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze