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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[4]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[4]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{4}}$

$\log_{2} (\sqrt[4]{2})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (3)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{5} (3)$ ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{5} (3)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,2)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,2)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.2}{2})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{3}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $3 \lg (x) + \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{9}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{2 500 x}) - \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (50 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{2 500 x}) - \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (50 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{2500} x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 2}) + \lg (50 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (50) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (50) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (2 500) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze