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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{121})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (\frac{1}{121})$ = $- 2$ , eben weil $11$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{121}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 1}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (77)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $77$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $77$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $77$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $77$ .

Und da wir bei $\log_{3} (77)$ ja das ☐ von 3^☐ = $77$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $77$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (77)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $1 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,04)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,04)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.04}{4})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{- 2}) - 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 8 \lg (x) - 6 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 17 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{2}) + \lg (50 x^{5}) + \lg (\frac{1}{2 500 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{2}) + \lg (50 x^{5}) + \lg (\frac{1}{2 500 x^{3}})$

= $\lg (50 x^{2}) + \lg (50 x^{5}) + \lg (\frac{1}{2500} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + (\lg (50) + \lg (x^{5})) + (\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (x^{5}) + \lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (50) + 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2500}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (50) + 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 500) - 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze