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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

$\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{196} (\frac{1}{14})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{14}$ um: $\frac{1}{14}$ = $14^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = $196^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $14^{- 1}$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14^{- 1}$ = ${(196^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$ ^☐ = $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ = $\log_{196} (196^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $196$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{14}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (25)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $25$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $25$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $25$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $25$ .

Und da wir bei $\log_{3} (25)$ ja das ☐ von 3^☐ = $25$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $25$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (25)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (2 560)$ - $\log_{2} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (2 560)$ - $\log_{2} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{2560}{20})$

= $\log_{2} (128)$

= $\log_{2} (2^{7})$

= 7

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (4 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{20} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1)) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (1) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 0 + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 0 + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (50) - \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{20} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze