nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (5) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 5 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5☐ = 5 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (5) = 1, eben weil 51 = 5 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 10 4 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 10 4 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 10 4 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10☐ = 10 4 gilt.

Wenn wir jetzt die 10 4 als 10 1 4 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 10☐ = 10 1 4

log 10 ( 10 4 ) = 1 4 , eben weil 10 1 4 = 10 4 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 361 ( 19 ) .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis 361 suchen und 361 gerade 19² ist (also 19 = 361 = 361 1 2 ), formen wir 19 noch so um, dass sie 361 als Basis hat:

19 = 361 1 2

log 361 ( 19 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 19 = 361 1 2 zur Basis 361 suchen, also die Hochzahl mit der man 361 potenzieren muss, um auf 19 = 361 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 361☐ = 19 = 361 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 361 ( 19 ) = log 361 ( 361 1 2 ) = 1 2 , eben weil 361 1 2 = 19 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (8) liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 8, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 8 ist.

Dabei kommt man auf 4 = 41 < 8 und auf 4 2 = 42 > 8.

Und da wir bei log 4 (8) ja das ☐ von 4☐ = 8 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
41 = 4 < 8 < 4 2 = 42

Es gilt somit: 1 < log 4 (8) < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000x ) -5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000x ) -5 lg( x )
= lg( 1000000 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= lg( 10 6 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= 6 + lg( x ) -5 lg( x )
= -4 lg( x ) +6

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 250000000 ) + lg( 4 ) .

Lösung einblenden

lg( 250000000 ) + lg( 4 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 250000000 · 4 )

= lg( 1000000000 )

= lg( 10 9 )

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) -2 lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x ) -2 lg( 1 x 2 )
= lg( x -1 ) -2 lg( x -2 )
= - lg( x ) +4 lg( x )
= 3 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 2 ) - lg( 1 20 x 3 ) + lg( 1 100 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 5 x 2 ) - lg( 1 20 x 3 ) + lg( 1 100 )

= lg( 5 x 2 ) - lg( 1 20 x -3 ) + lg( 1 100 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x 2 ) - ( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 1 100 ) + lg( 1 ) )

= lg( 5 ) + lg( x 2 ) - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 1 100 ) + lg( 1 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +2 lg( x ) - lg( 1 20 ) +3 lg( x ) + lg( 1 100 ) +0

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) +0

= 5 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 5 lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 )

= 5 lg( x )