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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (269)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $269$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $269$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{2}$ = 10² < $269$ und auf $10^{3}$ = 10³ > $269$ .

Und da wir bei $\log_{10} (269)$ ja das ☐ von 10^☐ = $269$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = $10^{2}$ < $269$ < $10^{3}$ = 10³

Es gilt somit: 2 < $\log_{10} (269)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,01}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,01}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0,01) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 2 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{13} (507)$ - $\log_{13} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{13} (507)$ - $\log_{13} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{13} (\frac{507}{3})$

= $\log_{13} (169)$

= $\log_{13} (13^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{10}) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{125} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{10}) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{10})) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{10}) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 10 \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 10 \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze