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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ = $- 9$ , eben weil $10$ ^{$- 9$} = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (118)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $118$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $118$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $118$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $118$ .

Und da wir bei $\log_{2} (118)$ ja das ☐ von 2^☐ = $118$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $118$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (118)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (125 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (125 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (125) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{3}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $3 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (100)$ - $\log_{5} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (100)$ - $\log_{5} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{100}{20})$

= $\log_{5} (5)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- 1})$
= $3 \lg (x) - \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25} x^{9})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25} x^{9})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{9}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{9})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 9 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 9 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze