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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (169)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (169)$ = $2$ , eben weil $13$ ^$2$ = $169$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$ = ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (222)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $222$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $222$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{2}$ = 10² < $222$ und auf $10^{3}$ = 10³ > $222$ .

Und da wir bei $\log_{10} (222)$ ja das ☐ von 10^☐ = $222$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = $10^{2}$ < $222$ < $10^{3}$ = 10³

Es gilt somit: 2 < $\log_{10} (222)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (256)$ - $\log_{2} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (256)$ - $\log_{2} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{256}{2})$

= $\log_{2} (128)$

= $\log_{2} (2^{7})$

= 7

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 2})$
= $6 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1000) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1000) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$

= $- \lg (1000) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1000) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (1000) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1000) + 0 - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000) + 0 - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze