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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\sqrt{19})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{19}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{19}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\sqrt{19}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $19$ ^☐ = $19^{\frac{1}{2}}$

$\log_{19} (\sqrt{19})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $19$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{19}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (76)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $76$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $76$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $76$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $76$ .

Und da wir bei $\log_{2} (76)$ ja das ☐ von 2^☐ = $76$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $76$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (76)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{2}) - \lg (80 x^{5}) + \lg (4)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{2}) - \lg (80 x^{5}) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - (\lg (80) + \lg (x^{5})) + (\lg (4) + \lg (1))$

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - \lg (80) - \lg (x^{5}) + \lg (4) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (80) - 5 \lg (x) + \lg (4) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (80) - 5 \lg (x) + \lg (4) + 0$

= $- 3 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze