Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 1}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (863 352)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $863 352$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $863 352$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $863 352$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $863 352$ .

Und da wir bei $\log_{10} (863 352)$ ja das ☐ von 10^☐ = $863 352$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $863 352$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (863 352)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 \cdot 20)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{- 3})$
= $4 \lg (x) + 8 \lg (x) - 12 \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{2}) - \lg (4 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{2}) - \lg (4 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - (\lg (4) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (1))$

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) - \lg (4) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 0$

= $\lg (20) + \lg (20) - \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20 \cdot 20}{4})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze