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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{16}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{16}}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{16}}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (834 132 337)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $834 132 337$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $834 132 337$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{8}$ = 10⁸ < $834 132 337$ und auf $10^{9}$ = 10⁹ > $834 132 337$ .

Und da wir bei $\log_{10} (834 132 337)$ ja das ☐ von 10^☐ = $834 132 337$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = $10^{8}$ < $834 132 337$ < $10^{9}$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < $\log_{10} (834 132 337)$ < 9

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000 000 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000 000 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 000 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000 000 000)$

= $\lg (10^{10})$

= 10

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{4})$
= $3 \lg (x) - 2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4) + \lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{200} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4) + \lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{200} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (1) + (\lg (50) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (4) + \lg (1) + \lg (50) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 0 + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 0 + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (200) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze