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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{121})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $11$ ^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (\frac{1}{121})$ = $- 2$ , eben weil $11$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{121}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{144} (\frac{1}{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = $12^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = $144^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $12^{- 1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12^{- 1}$ = ${(144^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$ ^☐ = $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ = $\log_{144} (144^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $144$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (44)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $44$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $44$ ist.

Dabei kommt man auf $4^{2}$ = 4² < $44$ und auf $4^{3}$ = 4³ > $44$ .

Und da wir bei $\log_{4} (44)$ ja das ☐ von 4^☐ = $44$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^{2}$ < $44$ < $4^{3}$ = 4³

Es gilt somit: 2 < $\log_{4} (44)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $6 + \lg (x) - \lg (x)$
= $6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + 2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + 2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 2}) + 2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x) + 8 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $9 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100} x) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (100) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze