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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (144)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (144)$ = $2$ , eben weil $12$ ^$2$ = $144$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100 000}$ um: $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Also schreiben wir $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{5})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{5}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (243)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $243$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $243$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $243$ und auf $19^{2}$ = 19² > $243$ .

Und da wir bei $\log_{19} (243)$ ja das ☐ von 19^☐ = $243$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $243$ < $19^{2}$ = 19²

Es gilt somit: 1 < $\log_{19} (243)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 500)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 500)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 500 \cdot 4)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $2 \lg (x^{- 2})$
= $- 4 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{80 000}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20 x}) + \lg (\frac{4}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{80 000}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20 x}) + \lg (\frac{4}{x^{5}})$

= $- \lg (80000 x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 1}) + \lg (4 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (80000) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $- \lg (80000) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (80000) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) + \lg (4) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (80 000) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (4) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (80 000) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80000} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze