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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000 000)$ = $8$ , eben weil $10$ ^$8$ = $100 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (1 000 000 000)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{9}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$

$\log_{100} (1 000 000 000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (1 000 000 000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{9}{2}})$ = $\frac{9}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{9}{2}$} = $1 000 000 000$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{8})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 < $\frac{1}{8}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{8}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{8})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{8}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{3} (\frac{1}{8})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,002)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,002)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.002}{2})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x^{\frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{20} x) + \lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{20} x) + \lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{20} x) + \lg (4 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (20) + \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze