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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (196)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (196)$ = $2$ , eben weil $14$ ^$2$ = $196$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{169} (\frac{1}{13})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{13}$ um: $\frac{1}{13}$ = $13^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = $169^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $13^{- 1}$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13^{- 1}$ = ${(169^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{169} (\frac{1}{13})$ = $\log_{169} (13^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$ ^☐ = $13^{- 1}$ = $169^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{169} (\frac{1}{13})$ = $\log_{169} (13^{- 1})$ = $\log_{169} (169^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $169$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{13}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (17)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $17$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $17$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $17$ und auf $5^{2}$ = 5² > $17$ .

Und da wir bei $\log_{5} (17)$ ja das ☐ von 5^☐ = $17$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $17$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (17)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 500)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 500)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 500 \cdot 4)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + 8 \lg (x)$
= $\frac{17}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (50 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze