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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (74)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $74$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $74$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $74$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $74$ .

Und da wir bei $\log_{3} (74)$ ja das ☐ von 3^☐ = $74$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $74$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (74)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{125 000 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{125 000 x^{2}})$

= $\lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{1}{125.000} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125.000}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (125 000) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (125 000) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze