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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (\frac{1}{11})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{11}$ um: $\frac{1}{11}$ = $11^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11^{- 1}$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11^{- 1}$ = ${(121^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ = $\log_{121} (121^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{2}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{2})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{2})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 8 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- 7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{400 000 x^{3}}) + \lg (20 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{400 000 x^{3}}) + \lg (20 x)$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{400.000} x^{- 3}) + \lg (20 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{400.000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (20) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{400.000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400.000}) - 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (400 000) - 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

= $- \lg (400 000) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400.000} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze