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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt{16})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{16}$ um: $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{99})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{99}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{99}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{99}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{99}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{99})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{99}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{99}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{99})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{20})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{100 x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{100 x^{5}})$

= $\lg (5) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (1) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (5) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 0 + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 0 + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) - 5 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze