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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 1}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (\frac{1}{55})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{55}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{55}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{121}$ = $\frac{1}{11^{2}}$ = 11^-2 < $\frac{1}{55}$ und auf $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1 > $\frac{1}{55}$ .

Und da wir bei $\log_{11} (\frac{1}{55})$ ja das ☐ von 11^☐ = $\frac{1}{55}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
11^-2 = $\frac{1}{11^{2}}$ = $\frac{1}{121}$ < $\frac{1}{55}$ < $\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$ = 11^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{11} (\frac{1}{55})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{14} (196 x) - \log_{14} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{14} (196 x) - \log_{14} (x)$
= $\log_{14} (196) + \log_{14} (x) - \log_{14} (x)$
= $\log_{14} (14^{2}) + \log_{14} (x) - \log_{14} (x)$
= $2 + \log_{14} (x) - \log_{14} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,2)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,2)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.2}{2})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{2})$

= $\lg (2 x^{- 6}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1000}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze