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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$ = ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (50)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $50$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $50$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $50$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $50$ .

Und da wir bei $\log_{3} (50)$ ja das ☐ von 3^☐ = $50$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $50$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (50)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125} x^{4}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{6}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{125} x^{4}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{6}})$

= $\lg (\frac{1}{125} x^{4}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (25 x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{4}) + (\lg (5) + \lg (x^{3})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze