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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{100 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{100 000}$ um: $\frac{1}{100 000}$ = ${100 000}^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{100 000}$ = ${100 000}^{- 1}$ = ${(10^{5})}^{- 1}$ = $10^{- 5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 5}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{100 000})$ = $\log_{100} (10^{- 5})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 5}$ = $100^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{100 000})$ = $\log_{100} (10^{- 5})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{100 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 20)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x) - 2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{8}}) + \lg (2 x) + \lg (\frac{1}{8} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{8}}) + \lg (2 x) + \lg (\frac{1}{8} x^{4})$

= $\lg (4 x^{- 8}) + \lg (2 x) + \lg (\frac{1}{8} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) + (\lg (2) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 8 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 8 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) + 4 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze