Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als $10^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{5}}$

$\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{77})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $16$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{77}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{77}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{16^{2}}$ = 16^-2 < $\frac{1}{77}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1 > $\frac{1}{77}$ .

Und da wir bei $\log_{16} (\frac{1}{77})$ ja das ☐ von 16^☐ = $\frac{1}{77}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
16^-2 = $\frac{1}{16^{2}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{77}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{16} (\frac{1}{77})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $4 + \lg (x) - \lg (x)$
= $4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{20}{2})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{4})$
= $- 8 \lg (x)$
= $- 8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20 x^{4}}) - \lg (500 x) + \lg (25 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20 x^{4}}) - \lg (500 x) + \lg (25 x)$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{- 4}) - \lg (500 x) + \lg (25 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (500) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (500) - \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x) - \lg (500) - \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (500) - \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (500) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 20)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze