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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[3]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{3}}$

$\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = $10^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (4 016 163)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $4 016 163$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4 016 163$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $4 016 163$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $4 016 163$ .

Und da wir bei $\log_{10} (4 016 163)$ ja das ☐ von 10^☐ = $4 016 163$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $4 016 163$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (4 016 163)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (512)$ - $\log_{2} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (512)$ - $\log_{2} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{512}{4})$

= $\log_{2} (128)$

= $\log_{2} (2^{7})$

= 7

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 3})$
= $2 \lg (x) - 6 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3})$

= $\lg (4 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze