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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{18} (189)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $18$ er-Potenzen in der Näher von $189$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $189$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $189$ und auf $18^{2}$ = 18² > $189$ .

Und da wir bei $\log_{18} (189)$ ja das ☐ von 18^☐ = $189$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $189$ < $18^{2}$ = 18²

Es gilt somit: 1 < $\log_{18} (189)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $6 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (25)$ - $\log_{5} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (25)$ - $\log_{5} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{25}{5})$

= $\log_{5} (5)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 3}) + 4 \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x) - 3 \lg (x) + 12 \lg (x)$
= $13 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{3}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{3}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{3}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{4}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze