Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (26)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $26$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $26$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $26$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $26$ .

Und da wir bei $\log_{3} (26)$ ja das ☐ von 3^☐ = $26$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $26$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (26)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (125 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (125 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (125) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{3}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $3 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (64)$ - $\log_{4} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (64)$ - $\log_{4} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{64}{4})$

= $\log_{4} (16)$

= $\log_{4} (4^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{2})$
= $- \lg (x) - 2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x) - \lg (\frac{5}{8 x^{4}}) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x) - \lg (\frac{5}{8 x^{4}}) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$

= $\lg (25 x) - \lg (\frac{5}{8} x^{- 4}) + \lg (25 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x) - (\lg (\frac{5}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (25) + \lg (x) - \lg (\frac{5}{8}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x) - \lg (\frac{5}{8}) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + \lg (x) - \lg (5) + \lg (8) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (25) + \lg (8) - \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 25 \cdot 8}{5})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze