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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\sqrt{13})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{13}$ um: $\sqrt{13}$ = $13^{\frac{1}{2}}$

$\log_{13} (\sqrt{13})$ = $\log_{13} (13^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $13^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $13^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{13} (\sqrt{13})$ = $\log_{13} (13^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $13$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (38)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $38$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $38$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{5}$ = 2⁵ < $38$ und auf $2^{6}$ = 2⁶ > $38$ .

Und da wir bei $\log_{2} (38)$ ja das ☐ von 2^☐ = $38$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^{5}$ < $38$ < $2^{6}$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{2} (38)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) + \lg (x)$
= $1 - \lg (x) + \lg (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{8 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{8 x^{4}})$

= $\lg (2 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{8} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) - 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze