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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{3}}$

$\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = $1000^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = $1000^{- 1}$ = ${(10^{3})}^{- 1}$ = $10^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 3}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{1000})$ = $\log_{100} (10^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{1000})$ = $\log_{100} (10^{- 3})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (29)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $29$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $29$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $29$ und auf $11^{2}$ = 11² > $29$ .

Und da wir bei $\log_{11} (29)$ ja das ☐ von 11^☐ = $29$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $29$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (29)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200 000 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 000 \cdot 5)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{2}) + \lg (1) + \lg (\frac{2}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{2}) + \lg (1) + \lg (\frac{2}{x^{2}})$

= $\lg (50 x^{2}) + \lg (1) + \lg (2 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + (\lg (1) + \lg (1)) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + \lg (1) + \lg (1) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) + 0 + \lg (2) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) + 0 + \lg (2) - 2 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze