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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (\frac{1}{11})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{11}$ um: $\frac{1}{11}$ = $11^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11^{- 1}$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11^{- 1}$ = ${(121^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ = $\log_{121} (121^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (43)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $43$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $43$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $43$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $43$ .

Und da wir bei $\log_{5} (43)$ ja das ☐ von 5^☐ = $43$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $43$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (43)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{2}) - 2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{2}) - 2 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $- 2 \lg (x^{2}) - 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 4 \lg (x) - \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{11}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (5 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (1)) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (1) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + 0 + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + 0 + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze