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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (289)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (289)$ = $2$ , eben weil $17$ ^$2$ = $289$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

$\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{73})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{73}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{73}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 < $\frac{1}{73}$ und auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6 > $\frac{1}{73}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{73})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{73}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
2^-7 = $\frac{1}{2^{7}}$ = $\frac{1}{128}$ < $\frac{1}{73}$ < $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6

Es gilt somit: -7 < $\log_{2} (\frac{1}{73})$ < -6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (2 560)$ - $\log_{2} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (2 560)$ - $\log_{2} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{2560}{20})$

= $\log_{2} (128)$

= $\log_{2} (2^{7})$

= 7

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $4 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{5}{4} x^{5}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{5}{4} x^{5}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{5})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{5}{4}) - \lg (x^{5}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{5}{4}) - 5 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (5) + \lg (4) - 5 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (25) - \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 25}{5} \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze