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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\sqrt[4]{14})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{14}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{14}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\sqrt[4]{14}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{14}$ als $14^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $14$ ^☐ = $14^{\frac{1}{4}}$

$\log_{14} (\sqrt[4]{14})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $14$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{14}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (13)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $13$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $13$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $13$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $13$ .

Und da wir bei $\log_{3} (13)$ ja das ☐ von 3^☐ = $13$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $13$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (13)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{16} (256 x) - \log_{16} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{16} (256 x) - \log_{16} (x)$
= $\log_{16} (256) + \log_{16} (x) - \log_{16} (x)$
= $\log_{16} (16^{2}) + \log_{16} (x) - \log_{16} (x)$
= $2 + \log_{16} (x) - \log_{16} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (40)$ - $\log_{2} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (40)$ - $\log_{2} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{40}{5})$

= $\log_{2} (8)$

= $\log_{2} (2^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + 2 \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + 2 \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- 2}) + 2 \lg (x^{- 1}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x) - 2 \lg (x) + \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10} x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{10} x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}})$

= $\lg (\frac{1}{10} x^{2}) + \lg (50 x^{- 6}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (20) - \lg (10)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 20}{10})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze