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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.805.849})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{1.805.849}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{1.805.849}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000000}$ = $\frac{1}{10^{7}}$ = 10^-7 < $\frac{1}{1.805.849}$ und auf $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6 > $\frac{1}{1.805.849}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{1.805.849})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{1.805.849}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -7 und -6 liegen, wegen:
10^-7 = $\frac{1}{10^{7}}$ = $\frac{1}{10000000}$ < $\frac{1}{1.805.849}$ < $\frac{1}{1000000}$ = $\frac{1}{10^{6}}$ = 10^-6

Es gilt somit: -7 < $\log_{10} (\frac{1}{1.805.849})$ < -6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) + \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) + \lg (x)$
= $- 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,03)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,03)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.03}{3})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $2 \lg (x) - \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1000 x^{2}) + \lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1000 x^{2}) + \lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1000) + \lg (x^{2})) + (\lg (2) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x))$

= $- \lg (1000) - \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1000) - 2 \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000) - 2 \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze