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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

$\log_{3} (\sqrt[4]{3})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{169} (13)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = $169^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $13$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13$ = $169^{\frac{1}{2}}$

$\log_{169} (13)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$ ^☐ = $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{169} (13)$ = $\log_{169} (169^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $169$ ^{$\frac{1}{2}$} = $13$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (691 277)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $691 277$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $691 277$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $691 277$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $691 277$ .

Und da wir bei $\log_{10} (691 277)$ ja das ☐ von 10^☐ = $691 277$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $691 277$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (691 277)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 5)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 2})$
= $6 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10 000 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) + \lg (2 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{10 000 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) + \lg (2 x)$

= $\lg (\frac{1}{10000} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 3}) + \lg (2 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10 000) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (2) + \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze