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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{256} (16)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = $256^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $16$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

$16$ = $256^{\frac{1}{2}}$

$\log_{256} (16)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$ ^☐ = $16$ = $256^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{256} (16)$ = $\log_{256} (256^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $256$ ^{$\frac{1}{2}$} = $16$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (7)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $7$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{2}$ = 2² < $7$ und auf $2^{3}$ = 2³ > $7$ .

Und da wir bei $\log_{2} (7)$ ja das ☐ von 2^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^{2}$ < $7$ < $2^{3}$ = 2³

Es gilt somit: 2 < $\log_{2} (7)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $1 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 \cdot 25)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + 4 \lg (x) - \lg (x)$
= $\frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{4}}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{100}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x^{4}}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{100}{x})$

= $\lg (2 x^{- 4}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (100 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + (\lg (50) + \lg (x^{2})) - (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (50) + \lg (x^{2}) - \lg (100) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (100) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 2)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze