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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 1}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{30})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{30}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{30}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5 < $\frac{1}{30}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 > $\frac{1}{30}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{30})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{30}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
2^-5 = $\frac{1}{2^{5}}$ = $\frac{1}{32}$ < $\frac{1}{30}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4

Es gilt somit: -5 < $\log_{2} (\frac{1}{30})$ < -4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - \lg (x)$
= $7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (192)$ - $\log_{2} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (192)$ - $\log_{2} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{192}{3})$

= $\log_{2} (64)$

= $\log_{2} (2^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{4}{x^{4}}) + \lg (20) - \lg (\frac{1}{2} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{4}{x^{4}}) + \lg (20) - \lg (\frac{1}{2} x^{4})$

= $- \lg (4 x^{- 4}) + \lg (20) - \lg (\frac{1}{2} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (20) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (4) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (20) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 0 - \lg (\frac{1}{2}) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 0 - \lg (1) + \lg (2) - 4 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{4} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze