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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{66})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{66}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{66}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{66}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{66}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{66})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{66}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{66}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{66})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $6 - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 000 \cdot 2)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 3}) + 2 \lg (x^{- 2})$
= $- 4 \lg (x) - 3 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 11 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x}) - \lg (\frac{1}{10 x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x}) - \lg (\frac{1}{10 x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x})$

= $\lg (5 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{10} x^{- 2}) + \lg (20 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{10}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{10}) + 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (10) + 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (10) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 10 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze