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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000)$ = $5$ , eben weil $10$ ^$5$ = $100 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ = $- 8$ , eben weil $10$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (14)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $14$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $14$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $14$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $14$ .

Und da wir bei $\log_{2} (14)$ ja das ☐ von 2^☐ = $14$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $14$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (14)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{17} (14 450)$ - $\log_{17} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{17} (14 450)$ - $\log_{17} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{17} (\frac{14450}{50})$

= $\log_{17} (289)$

= $\log_{17} (17^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25) + \lg (\frac{1}{500 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25) + \lg (\frac{1}{500 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{500.000} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (1) + (\lg (\frac{1}{500.000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (25) + \lg (1) + \lg (\frac{1}{500.000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 0 + \lg (\frac{1}{500.000}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 0 + \lg (1) - \lg (500 000) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (500 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze