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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (10 000 000)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $10 000 000$ eine Potenz ist: $10 000 000$ = $10^{7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{7}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{7}$ = $100^{\frac{7}{2}}$

$\log_{100} (10 000 000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{7}$ = $100^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{7}$ = $100^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{7}$ = $100^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (10 000 000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{7}{2}$} = $10 000 000$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{77})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{77}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{77}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{77}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{77}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{77})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{77}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{77}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{77})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 \cdot 25)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1})$
= $6 \lg (x) + 2 \lg (x) - \lg (x)$
= $7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (40 x^{5})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (40 x^{5})$

= $\lg (2 x^{- 1}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (40 x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) - (\lg (40) + \lg (x^{5}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) - \lg (40) - \lg (x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (40) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (40) - 5 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze