Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{8})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{8})$ = $- 3$ , eben weil $2$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{100 000}$ um: $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100 000$ eine Potenz ist: $100 000$ = $10^{5}$

Also schreiben wir $\sqrt{100 000}$ = ${100 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{5})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{5}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{100 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{5}{2}})$ = $\frac{5}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{5}{2}$} = $\sqrt{100 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (27)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $27$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $27$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{4}$ = 2⁴ < $27$ und auf $2^{5}$ = 2⁵ > $27$ .

Und da wir bei $\log_{2} (27)$ ja das ☐ von 2^☐ = $27$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^{4}$ < $27$ < $2^{5}$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < $\log_{2} (27)$ < 5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - \lg (x)$
= $8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{243}{3})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{20}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{20}{x^{2}})$

= $\lg (25 x^{3}) + \lg (2 x^{- 1}) + \lg (20 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (20) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (20) - 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze