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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

$\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{32}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{32}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{32}}$ = $32^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{32}}$ = $32^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{5})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{32}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{32}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{32}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (22 832 635)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $22 832 635$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22 832 635$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $22 832 635$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $22 832 635$ .

Und da wir bei $\log_{10} (22 832 635)$ ja das ☐ von 10^☐ = $22 832 635$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $22 832 635$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (22 832 635)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 \cdot 25)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $\lg (x) + 12 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{25}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (50 x) - \lg (\frac{25}{2} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (50 x) - \lg (\frac{25}{2} x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) + \lg (50 x) - \lg (\frac{25}{2} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (50) + \lg (x)) - (\lg (\frac{25}{2}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (50) + \lg (x) - \lg (\frac{25}{2}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x) - \lg (\frac{25}{2}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x) - \lg (25) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze