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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (324)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{18} (324)$ = $2$ , eben weil $18$ ^$2$ = $324$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als $10^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{5}}$

$\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (117)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $117$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $117$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $117$ und auf $12^{2}$ = 12² > $117$ .

Und da wir bei $\log_{12} (117)$ ja das ☐ von 12^☐ = $117$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $117$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (117)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $7 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,5)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,5)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.5}{50})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) - \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (100) + \lg (\frac{5}{x}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (100) + \lg (\frac{5}{x}) + \lg (20 x^{2})$

= $- \lg (100) + \lg (5 x^{- 1}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (1)) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (100) - \lg (1) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) + 0 + \lg (5) - \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) + 0 + \lg (5) - \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze