Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (21)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $21$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $21$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $21$ und auf $5^{2}$ = 5² > $21$ .

Und da wir bei $\log_{5} (21)$ ja das ☐ von 5^☐ = $21$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $21$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (21)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,1}{x}) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,1}{x}) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0,1) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 1 - \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{12} (7 200)$ - $\log_{12} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{12} (7 200)$ - $\log_{12} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{12} (\frac{7200}{50})$

= $\log_{12} (144)$

= $\log_{12} (12^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{4 x}) + \lg (\frac{1}{80 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{4 x}) + \lg (\frac{1}{80 x})$

= $\lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{80} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) - \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze