Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (10)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = $100^{\frac{1}{2}}$

$\log_{100} (10)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (10)$ = $\log_{100} (100^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (42)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $42$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $42$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $42$ und auf $17^{2}$ = 17² > $42$ .

Und da wir bei $\log_{17} (42)$ ja das ☐ von 17^☐ = $42$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $42$ < $17^{2}$ = 17²

Es gilt somit: 1 < $\log_{17} (42)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (\frac{64}{x}) + \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (\frac{64}{x}) + \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (64) - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4^{3}) - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $3 - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,3)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,3)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.3}{3})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3})$
= $3 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{40 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{40 x})$

= $\lg (2 x^{4}) + \lg (2 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{40} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) - \lg (x)$

= $- \lg (40) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze