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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt[5]{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{16}$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $\sqrt[5]{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{16}$ als $16^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{5}}$

$\log_{16} (\sqrt[5]{16})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = $125^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = $125^{\frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{125})$ = $\log_{5} (5^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{125})$ = $\log_{5} (5^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{9172})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{9172}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{9172}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{9172}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{9172}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{9172})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{9172}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{9172}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{9172})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000 000}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000 000}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $10 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 \cdot 20)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{3})$
= $- \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25} x^{6}) - \lg (\frac{125}{x^{2}}) + \lg (5 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25} x^{6}) - \lg (\frac{125}{x^{2}}) + \lg (5 x)$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{6}) - \lg (125 x^{- 2}) + \lg (5 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{6})) - (\lg (125) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{6}) - \lg (125) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) - 6 \lg (x) - \lg (125) + 2 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) - 6 \lg (x) - \lg (125) + 2 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze