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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (361)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (361)$ = $2$ , eben weil $19$ ^$2$ = $361$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

$\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{169} (13)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = $169^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $13$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13$ = $169^{\frac{1}{2}}$

$\log_{169} (13)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$ ^☐ = $13$ = $169^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{169} (13)$ = $\log_{169} (169^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $169$ ^{$\frac{1}{2}$} = $13$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{28})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{28}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{28}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5 < $\frac{1}{28}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 > $\frac{1}{28}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{28})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{28}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
2^-5 = $\frac{1}{2^{5}}$ = $\frac{1}{32}$ < $\frac{1}{28}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4

Es gilt somit: -5 < $\log_{2} (\frac{1}{28})$ < -4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (200)$ - $\log_{4} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (200)$ - $\log_{4} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{200}{50})$

= $\log_{4} (4)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{4}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{4}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x^{4}) - 2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{2})$
= $16 \lg (x) + 4 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $22 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (200 x^{4}) + \lg (4 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (200 x^{4}) + \lg (4 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1)) - (\lg (200) + \lg (x^{4})) + (\lg (4) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (1) - \lg (200) - \lg (x^{4}) + \lg (4) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 0 - \lg (200) - 4 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 0 - \lg (200) - 4 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze