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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{128})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{128})$ = $- 7$ , eben weil $2$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (119)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $119$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $119$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $119$ und auf $11^{2}$ = 11² > $119$ .

Und da wir bei $\log_{11} (119)$ ja das ☐ von 11^☐ = $119$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $119$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (119)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (25) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{2}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{11} (242)$ - $\log_{11} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{11} (242)$ - $\log_{11} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{11} (\frac{242}{2})$

= $\log_{11} (121)$

= $\log_{11} (11^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{50} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{50} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x^{4}})$

= $\lg (25 x^{- 5}) + \lg (\frac{1}{50} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze