Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

$\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $5^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (36)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $36$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $36$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $36$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $36$ .

Und da wir bei $\log_{3} (36)$ ja das ☐ von 3^☐ = $36$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $36$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (36)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,001}{x}) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,001}{x}) - 5 \lg (x)$
= $\lg (0,001) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 3 - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (54)$ - $\log_{3} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (54)$ - $\log_{3} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{54}{2})$

= $\log_{3} (27)$

= $\log_{3} (3^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $10 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{5}}) - \lg (200 x^{2}) + \lg (4 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{50}{x^{5}}) - \lg (200 x^{2}) + \lg (4 x^{3})$

= $\lg (50 x^{- 5}) - \lg (200 x^{2}) + \lg (4 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (200) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (200) - \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 5 \lg (x) - \lg (200) - 2 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 5 \lg (x) - \lg (200) - 2 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze