Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{5} (2)$ ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{5} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,05)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,05)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.05}{5})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) + 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) + 2 \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $8 \lg (x) + 4 \lg (x) + \lg (x)$
= $13 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (50000 x^{4}) + \lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{25})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (50000 x^{4}) + \lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{25})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (50000) + \lg (x^{4})) + (\lg (20) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (1))$

= $- \lg (50000) - \lg (x^{4}) + \lg (20) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (50000) - 4 \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (50 000) - 4 \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 0$

= $- \lg (50 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze