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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{16} (256)$ = $2$ , eben weil $16$ ^$2$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (108)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $108$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $108$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $108$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $108$ .

Und da wir bei $\log_{2} (108)$ ja das ☐ von 2^☐ = $108$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $108$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (108)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (162)$ - $\log_{3} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (162)$ - $\log_{3} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{162}{2})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{3})$
= $- 4 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (\frac{1}{625} x) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (\frac{1}{625} x) + \lg (25 x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{625} x) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{625}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{625}) + \lg (x) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{625}) + \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (625) + \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (625) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{625} \cdot 25 \cdot 25)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze