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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (8)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $8$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $8$ und auf $5^{2}$ = 5² > $8$ .

Und da wir bei $\log_{5} (8)$ ja das ☐ von 5^☐ = $8$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $8$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (8)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (500)$ - $\log_{5} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{5} (500)$ - $\log_{5} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{500}{20})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 1}) + 4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$
= $- \lg (x) + 16 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $18 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{2} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{50})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{2} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{50})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1))$

= $\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 0$

= $\lg (50) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 4}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze