Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10}$ um: $\frac{1}{10}$ = $10^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 1}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 1}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 1}$ = $100^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{10})$ = $\log_{100} (10^{- 1})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (41)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $41$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $41$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $41$ und auf $11^{2}$ = 11² > $41$ .

Und da wir bei $\log_{11} (41)$ ja das ☐ von 11^☐ = $41$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $41$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (41)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{13} (676)$ - $\log_{13} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{13} (676)$ - $\log_{13} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{13} (\frac{676}{4})$

= $\log_{13} (169)$

= $\log_{13} (13^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $3 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (80 x^{2}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (80 x^{2}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x^{2}})$

= $- \lg (80 x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (20 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (80) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (80) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (80) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (80) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 2 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze