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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{40})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{40}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{40}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^{3}}$ = 4^-3 < $\frac{1}{40}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 > $\frac{1}{40}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{40})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{40}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^{3}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{40}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{4} (\frac{1}{40})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 \cdot 5)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (\frac{4}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (\frac{4}{x})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) + \lg (4 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze