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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt{16})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{16}$ um: $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (16 782 899)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $16 782 899$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $16 782 899$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $16 782 899$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $16 782 899$ .

Und da wir bei $\log_{10} (16 782 899)$ ja das ☐ von 10^☐ = $16 782 899$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $16 782 899$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (16 782 899)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 \cdot 25)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $4 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 12 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 14 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2) + \lg (\frac{1}{40} x^{3}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2) + \lg (\frac{1}{40} x^{3}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (1) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{3})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (2) + \lg (1) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 0 + \lg (\frac{1}{40}) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 0 + \lg (1) - \lg (40) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze