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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (289)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (289)$ = $2$ , eben weil $17$ ^$2$ = $289$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ = $- 5$ , eben weil $10$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (176)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $176$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $176$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $176$ und auf $14^{2}$ = 14² > $176$ .

Und da wir bei $\log_{14} (176)$ ja das ☐ von 14^☐ = $176$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $176$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (176)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,01}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,01}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,01) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 20)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{4}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{4}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{4}) - 2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 8 \lg (x) + 4 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100 x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100 x^{5}})$

= $\lg (5) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (1) + (\lg (20) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (5) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 0 + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 0 + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze