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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (125)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$

$\log_{25} (125)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (125)$ = $\log_{25} (25^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (25 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 1})$
= $4 \lg (x) - \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{400 x^{5}}) + \lg (\frac{20}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{400 x^{5}}) + \lg (\frac{20}{x})$

= $\lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{400} x^{- 5}) + \lg (20 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{400}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{400}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400}) - 5 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (400) - 5 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze