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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $3$^$-4$ = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $266$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $266$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $266$ und auf ${17}^2$ = 17² > $266$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $266$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $266$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(100000x\right)-3\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(x^3\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $-\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(5x\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$-\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(5x\right)$

= $-\lg \left(2x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(5x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(2\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5·4}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$