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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (174)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $174$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $174$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $174$ und auf $14^{2}$ = 14² > $174$ .

Und da wir bei $\log_{14} (174)$ ja das ☐ von 14^☐ = $174$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $174$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (174)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (80)$ - $\log_{4} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (80)$ - $\log_{4} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{80}{5})$

= $\log_{4} (16)$

= $\log_{4} (4^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x) + 2 \lg (x) - \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{8}{x}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{8}{x}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (20 x^{2})$

= $- \lg (8 x^{- 1}) + \lg (4 x^{- 3}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (8) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (8) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (8) + \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (8) + \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (8) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze