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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = $17^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ = $\log_{17} (17^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $17^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $17^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ = $\log_{17} (17^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $17$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (10)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $10$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $10$ und auf $5^{2}$ = 5² > $10$ .

Und da wir bei $\log_{5} (10)$ ja das ☐ von 5^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $10$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (10)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{20}{2})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 2})$
= $6 \lg (x) + 3 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{400 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{400 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{400} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{400}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{400}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 0 + \lg (\frac{1}{400}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 0 + \lg (1) - \lg (400) - 2 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze