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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (45)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $45$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $45$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $45$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $45$ .

Und da wir bei $\log_{3} (45)$ ja das ☐ von 3^☐ = $45$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $45$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (45)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{12} (144 x) - \log_{12} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{12} (144 x) - \log_{12} (x)$
= $\log_{12} (144) + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $\log_{12} (12^{2}) + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $2 + \log_{12} (x) - \log_{12} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{200}{20})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{25000} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{50}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{25000} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{50}{x})$

= $\lg (\frac{1}{25000} x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (50 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25000}) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{25000}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25000}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (25 000) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x)$

= $- \lg (25 000) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25000} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze