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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{128})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{128}$ um: $\sqrt{128}$ = $128^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\sqrt{128}$ = $128^{\frac{1}{2}}$ = ${(2^{7})}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{7}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{128})$ = $\log_{2} (2^{\frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{128})$ = $\log_{2} (2^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{128}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{164})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{164}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{164}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^{8}}$ = 2^-8 < $\frac{1}{164}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 > $\frac{1}{164}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{164})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{164}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^{8}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{164}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{2} (\frac{1}{164})$ < -7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{40}{4})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 3})$
= $3 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) - 6 \lg (x)$
= $- \frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{3}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (\frac{1}{125 x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{3}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (\frac{1}{125 x^{5}})$

= $\lg (5 x^{3}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (\frac{1}{125} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) + (\lg (25) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) - 5 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze