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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 (1000000) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1000000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1000000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1000000 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 (1000000) = 6, eben weil 106 = 1000000 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 4 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 4 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 1 4 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 1 4 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 4-Potenz zu schreiben versuchen, also 4 = 1 4

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 4 ( 1 4 ) = -1, eben weil 4-1 = 1 4 gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 18 ( 1 18 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 18 um: 1 18 = 18 - 1 2

log 18 ( 1 18 ) = log 18 ( 18 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 18 - 1 2 zur Basis 18 suchen, also die Hochzahl mit der man 18 potenzieren muss, um auf 18 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 18 = 18 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 18 ( 1 18 ) = log 18 ( 18 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 18 - 1 2 = 1 18 gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 (34) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 34, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 34 ist.

Dabei kommt man auf 2 5 = 25 < 34 und auf 2 6 = 26 > 34.

Und da wir bei log 2 (34) ja das ☐ von 2 = 34 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
25 = 2 5 < 34 < 2 6 = 26

Es gilt somit: 5 < log 2 (34) < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache log 2 ( 32x ) - log 2 ( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
log 2 ( 32x ) - log 2 ( x )
= log 2 ( 32 ) + log 2 ( x ) - log 2 ( x )
= log 2 ( 2 5 ) + log 2 ( x ) - log 2 ( x )
= 5 + log 2 ( x ) - log 2 ( x )
= 5

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 0,03 ) - lg( 3 ) .

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lg( 0,03 ) - lg( 3 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 0.03 3 )

= lg( 0,01 )

= lg( 10 -2 )

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 x 2 )
= lg( x 1 2 ) + lg( x -2 ) + lg( x -2 )
= 1 2 lg( x ) -2 lg( x ) -2 lg( x )
= - 7 2 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 400 x 2 ) + lg( 20 x 3 ) + lg( 20 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 400 x 2 ) + lg( 20 x 3 ) + lg( 20 x 3 )

= lg( 1 400 x 2 ) + lg( 20 x 3 ) + lg( 20 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 400 ) + lg( x 2 ) + ( lg( 20 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 3 ) )

= lg( 1 400 ) + lg( x 2 ) + lg( 20 ) + lg( x 3 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 400 ) +2 lg( x ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 400 ) +2 lg( x ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) -3 lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 400 ) + lg( 20 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 400 · 20 · 20 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )