Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ = ${1000000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000000000}}$ gilt .

Wir suchen $13$er-Potenzen in der Näher von $147$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $147$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $147$ und auf ${13}^2$ = 13² > $147$.

Und da wir bei ja das ☐ von 13^☐ = $147$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $147$ < ${13}^2$ = 13²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+2$

${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>625</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>625</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>125</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-3}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{1}{16}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^5\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{16}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(16\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$