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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{17}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{17}}$ = $17^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ = $\log_{17} (17^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $17^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $17^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{17} (\frac{1}{\sqrt{17}})$ = $\log_{17} (17^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $17$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{17}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{5})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{5}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{5}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 < $\frac{1}{5}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{5}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{5})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{5}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{3} (\frac{1}{5})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 5)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10000} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{10000} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (\frac{2}{x})$

= $\lg (\frac{1}{10000} x^{3}) + \lg (50 x^{- 2}) + \lg (2 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (x^{3}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (x^{3}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10 000) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze