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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (32)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (32)$ = $5$ , eben weil $2$ ^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{144} (\frac{1}{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = $12^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = $144^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $12^{- 1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

$12^{- 1}$ = ${(144^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$ ^☐ = $12^{- 1}$ = $144^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{144} (\frac{1}{12})$ = $\log_{144} (12^{- 1})$ = $\log_{144} (144^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $144$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (51)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $51$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $51$ ist.

Dabei kommt man auf $4^{2}$ = 4² < $51$ und auf $4^{3}$ = 4³ > $51$ .

Und da wir bei $\log_{4} (51)$ ja das ☐ von 4^☐ = $51$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^{2}$ < $51$ < $4^{3}$ = 4³

Es gilt somit: 2 < $\log_{4} (51)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (100) - \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) - \lg (x) + \lg (x)$
= $2 - \lg (x) + \lg (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{19} (18 050)$ - $\log_{19} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{19} (18 050)$ - $\log_{19} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{19} (\frac{18050}{50})$

= $\log_{19} (361)$

= $\log_{19} (19^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + 4 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + 4 \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{3}) + 4 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2})$
= $3 \lg (x) + 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x}) + \lg (\frac{5}{2 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x}) + \lg (\frac{5}{2 x^{3}})$

= $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1}) + \lg (\frac{5}{2} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x) + \lg (\frac{5}{2}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (5) - \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze