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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{3}}$

$\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{1 000 000 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1 000 000 000}$ um: $\frac{1}{1 000 000 000}$ = ${1 000 000 000}^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\frac{1}{1 000 000 000}$ = ${1 000 000 000}^{- 1}$ = ${(10^{9})}^{- 1}$ = $10^{- 9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 9}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{1 000 000 000})$ = $\log_{100} (10^{- 9})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 9}$ = $100^{- \frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{1 000 000 000})$ = $\log_{100} (10^{- 9})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{9}{2}})$ = $- \frac{9}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{9}{2}$} = $\frac{1}{1 000 000 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (32)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $32$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $32$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $32$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $32$ .

Und da wir bei $\log_{5} (32)$ ja das ☐ von 5^☐ = $32$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $32$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (32)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (64 x) - \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (64 x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (64) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4^{3}) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $3 + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{3})$
= $2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{3})$
= $- 6 \lg (x) + 2 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{10}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{10}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{10}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{10})) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{10}) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 10 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 10 \lg (x) + \lg (1) - \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (4) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze