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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{215.258.357})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{215.258.357}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{215.258.357}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{10^{9}}$ = 10^-9 < $\frac{1}{215.258.357}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8 > $\frac{1}{215.258.357}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{215.258.357})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{215.258.357}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{10^{9}}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{215.258.357}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{10^{8}}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < $\log_{10} (\frac{1}{215.258.357})$ < -8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (243)$ - $\log_{3} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{243}{3})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) + \lg (x)$
=0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{2}{5 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{2}{5 x^{4}})$

= $\lg (20 x^{- 7}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3}) - \lg (\frac{2}{5} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{2}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{2}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 7 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{2}{5}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 7 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (2) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (20) + \lg (5) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20 \cdot 20 \cdot 5}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze