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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[4]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{4}}$

$\log_{10} (\sqrt[4]{10})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{9})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{9}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ = $- \frac{9}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{16} (31)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $16$ er-Potenzen in der Näher von $31$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $31$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $31$ und auf $16^{2}$ = 16² > $31$ .

Und da wir bei $\log_{16} (31)$ ja das ☐ von 16^☐ = $31$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $31$ < $16^{2}$ = 16²

Es gilt somit: 1 < $\log_{16} (31)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (4 x) - \lg (100 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (4 x) - \lg (100 x)$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) + \lg (4 x) - \lg (100 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (4) + \lg (x)) - (\lg (100) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (4) + \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze