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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{196})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (\frac{1}{196})$ = $- 2$ , eben weil $14$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{196}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$ = ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (6 492 135)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $6 492 135$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6 492 135$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $6 492 135$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $6 492 135$ .

Und da wir bei $\log_{10} (6 492 135)$ ja das ☐ von 10^☐ = $6 492 135$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $6 492 135$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (6 492 135)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,05)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,05)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.05}{5})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 1})$
= $4 \lg (x) - \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (\frac{5}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (\frac{5}{x})$

= $\lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (5 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze