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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt[4]{15})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{15}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{15}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\sqrt[4]{15}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{15}$ als $15^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{4}}$

$\log_{15} (\sqrt[4]{15})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{15}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = $10^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (185)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $185$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $185$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $185$ und auf $17^{2}$ = 17² > $185$ .

Und da wir bei $\log_{17} (185)$ ja das ☐ von 17^☐ = $185$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $185$ < $17^{2}$ = 17²

Es gilt somit: 1 < $\log_{17} (185)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5000}{50})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{5 x^{7}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{5 x^{7}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{3}})$

= $\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{5} x^{- 7}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) + (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{7}})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5}) - 7 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5) - 7 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) - \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 20}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze