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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{32})$ = $- 5$ , eben weil $2$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{196} (\frac{1}{14})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{14}$ um: $\frac{1}{14}$ = $14^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = $196^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $14^{- 1}$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14^{- 1}$ = ${(196^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$ ^☐ = $14^{- 1}$ = $196^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{196} (\frac{1}{14})$ = $\log_{196} (14^{- 1})$ = $\log_{196} (196^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $196$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{14}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{16} (255)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $16$ er-Potenzen in der Näher von $255$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $255$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $255$ und auf $16^{2}$ = 16² > $255$ .

Und da wir bei $\log_{16} (255)$ ja das ☐ von 16^☐ = $255$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $255$ < $16^{2}$ = 16²

Es gilt somit: 1 < $\log_{16} (255)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 \cdot 25)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{3}) + 4 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{3}) + 4 \lg (x^{3})$
= $12 \lg (x) + 12 \lg (x)$
= $24 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{5}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{5}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (20) + \lg (5 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + (\lg (20) + \lg (1)) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (1) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 0 + \lg (5) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 0 + \lg (5) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze