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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{27}$ um: $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{27}$ = $27^{\frac{1}{2}}$ = ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $3^{\frac{3}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{27})$ = $\log_{3} (3^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (363 572 432)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $363 572 432$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $363 572 432$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{8}$ = 10⁸ < $363 572 432$ und auf $10^{9}$ = 10⁹ > $363 572 432$ .

Und da wir bei $\log_{10} (363 572 432)$ ja das ☐ von 10^☐ = $363 572 432$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = $10^{8}$ < $363 572 432$ < $10^{9}$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < $\log_{10} (363 572 432)$ < 9

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000 000)$

= $\lg (10^{7})$

= 7

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x) - \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (\frac{1}{125} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x) - \lg (\frac{1}{25} x^{3}) + \lg (\frac{1}{125} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (5) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + 3 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze