Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = $15^{\frac{1}{2}}$

$\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $15^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{7})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{7}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{7}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 < $\frac{1}{7}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{7}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{7})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{7}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{7}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{3} (\frac{1}{7})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (\frac{256}{x}) + \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (\frac{256}{x}) + \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (256) - \log_{2} (x) + \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{8}) - \log_{2} (x) + \log_{2} (x)$
= $8 - \log_{2} (x) + \log_{2} (x)$
= $8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (3)$ - $\log_{4} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (3)$ - $\log_{4} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{3}{3})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x})$
= $2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- 6 \lg (x) + 3 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{6}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{6}) + \lg (\frac{1}{50} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{6})) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{6}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze