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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{169})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (\frac{1}{169})$ = $- 2$ , eben weil $13$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{169}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt{16})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{16}$ um: $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (7)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $7$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $7$ und auf $5^{2}$ = 5² > $7$ .

Und da wir bei $\log_{5} (7)$ ja das ☐ von 5^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $7$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (7)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,05)$ - $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,05)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.05}{50})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 3})$
= $\lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125.000} x^{4}) + \lg (5 x) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{125.000} x^{4}) + \lg (5 x) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$

= $\lg (\frac{1}{125.000} x^{4}) + \lg (5 x) + \lg (25 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (x^{4}) + (\lg (5) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (x) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000}) + 4 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125 000) + 4 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (125 000) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze