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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{64})$ = $- 6$ , eben weil $2$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{64})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{11} (71)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $11$ er-Potenzen in der Näher von $71$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $71$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $71$ und auf $11^{2}$ = 11² > $71$ .

Und da wir bei $\log_{11} (71)$ ja das ☐ von 11^☐ = $71$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $71$ < $11^{2}$ = 11²

Es gilt somit: 1 < $\log_{11} (71)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{3})$
= $- 3 \lg (x) + 3 \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{250} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{5}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{250} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{5}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{250} x^{3}) + \lg (50 x^{- 1}) + \lg (5 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{3}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{3}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}) + 3 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (5) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (250) + 3 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (5) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze