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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (169)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $169$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $169$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $169$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (169)$ = $2$ , eben weil $13$ ^$2$ = $169$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1000})$ = $- 3$ , eben weil $10$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = $1000^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = $1000^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (133)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $133$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $133$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $133$ und auf $19^{2}$ = 19² > $133$ .

Und da wir bei $\log_{19} (133)$ ja das ☐ von 19^☐ = $133$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $133$ < $19^{2}$ = 19²

Es gilt somit: 1 < $\log_{19} (133)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $1 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{2}{20})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- 3}) + 4 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 3 \lg (x) - 4 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{15}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{625} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{625} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625}) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{625}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{4}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 4 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (625) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 4 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (625) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{625} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze