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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{289})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $17$ ^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{17} (\frac{1}{289})$ = $- 2$ , eben weil $17$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{289}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{289} (\frac{1}{17})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{17}$ um: $\frac{1}{17}$ = $17^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = $289^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $17^{- 1}$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

$17^{- 1}$ = ${(289^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{289} (\frac{1}{17})$ = $\log_{289} (17^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$ ^☐ = $17^{- 1}$ = $289^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{289} (\frac{1}{17})$ = $\log_{289} (17^{- 1})$ = $\log_{289} (289^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $289$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{17}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (53)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $53$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $53$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $53$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $53$ .

Und da wir bei $\log_{3} (53)$ ja das ☐ von 3^☐ = $53$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $53$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (53)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $3 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,04)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,04)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.04}{4})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- \frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{8 000 x^{2}}) + \lg (20 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{8 000 x^{2}}) + \lg (20 x^{3})$

= $\lg (4 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{8000} x^{- 2}) + \lg (20 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{8000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{8000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{8000}) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (8 000) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (8 000) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze