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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{4}$ als $4^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (24)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $24$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $24$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $24$ und auf $5^{2}$ = 5² > $24$ .

Und da wir bei $\log_{5} (24)$ ja das ☐ von 5^☐ = $24$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $24$ < $5^{2}$ = 5²

Es gilt somit: 1 < $\log_{5} (24)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x^{- 3}) + 4 \lg (x^{3})$
= $6 \lg (x) + 12 \lg (x)$
= $18 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (40 x^{3}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{20}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (40 x^{3}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{20}{x^{2}})$

= $- \lg (40 x^{3}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (20 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (40) + \lg (x^{3})) + (\lg (2) + \lg (x^{2})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (40) - \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (40) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (40) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze