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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\sqrt{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{12}$ um: $\sqrt{12}$ = $12^{\frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\sqrt{12})$ = $\log_{12} (12^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\sqrt{12})$ = $\log_{12} (12^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{12}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{218})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{218}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{218}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^{8}}$ = 2^-8 < $\frac{1}{218}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 > $\frac{1}{218}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{218})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{218}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^{8}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{218}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{2} (\frac{1}{218})$ < -7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (162)$ - $\log_{3} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (162)$ - $\log_{3} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{162}{2})$

= $\log_{3} (81)$

= $\log_{3} (3^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{16} x) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (4 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{16} x) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (4 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{16} x) + \lg (4 x^{- 1}) + \lg (4 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (x) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (4) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (x) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16}) + \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (16) + \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze