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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{32}$ um: $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{32}$ = $32^{- 1}$ = ${(2^{5})}^{- 1}$ = $2^{- 5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 5}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 5}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 5}$ = $4^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{32})$ = $\log_{4} (2^{- 5})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40 000 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40 000 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 000 000 \cdot 25)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $- 2 \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 1})$
= $- 4 \lg (x) - \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125 x^{2}}) + \lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{125 x^{2}}) + \lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x)$

= $\lg (\frac{1}{125} x^{- 2}) + \lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze