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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\sqrt{18})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{18}$ um: $\sqrt{18}$ = $18^{\frac{1}{2}}$

$\log_{18} (\sqrt{18})$ = $\log_{18} (18^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $18^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $18^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{18} (\sqrt{18})$ = $\log_{18} (18^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $18$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{18}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{101})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{101}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{101}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{19^{2}}$ = 19^-2 < $\frac{1}{101}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{101}$ .

Und da wir bei $\log_{19} (\frac{1}{101})$ ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{101}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{19^{2}}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{101}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{19} (\frac{1}{101})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 \cdot 5)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{3})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{3})$
= $- 3 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (\frac{5}{2}) + \lg (2 x^{- 2}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{2}) + \lg (1) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{5}{2}) + \lg (1) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{2}) + 0 + \lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (2) + 0 + \lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze