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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1 000 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1 000 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1 000 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1 000 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1 000 000 000)$ = $9$ , eben weil $10$ ^$9$ = $1 000 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (\frac{1}{11})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{11}$ um: $\frac{1}{11}$ = $11^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11^{- 1}$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11^{- 1}$ = ${(121^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11^{- 1}$ = $121^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (\frac{1}{11})$ = $\log_{121} (11^{- 1})$ = $\log_{121} (121^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{11}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{15})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{15}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{15}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 < $\frac{1}{15}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{15}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{15})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{15}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^{2}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{15}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{4} (\frac{1}{15})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50 000 \cdot 2)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{2}}) - \lg (20 x) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{2}}) - \lg (20 x) + \lg (5 x^{2})$

= $\lg (4 x^{- 2}) - \lg (20 x) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (20) + \lg (x)) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (20) - \lg (x) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (20) - \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (20) - \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze