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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{125})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{125})$ = $- 3$ , eben weil $5$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{125}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{1 000 000 000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1 000 000 000}$ um: $\sqrt{1 000 000 000}$ = ${1 000 000 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\sqrt{1 000 000 000}$ = ${1 000 000 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{9})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{9}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{1 000 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{9}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{1 000 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{9}{2}})$ = $\frac{9}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{9}{2}$} = $\sqrt{1 000 000 000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (80)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $80$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $80$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $80$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $80$ .

Und da wir bei $\log_{3} (80)$ ja das ☐ von 3^☐ = $80$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $80$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (80)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (20)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 \cdot 50)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 2 \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $4 \lg (x) + \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{625 x^{11}}) + \lg (25 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{625 x^{11}}) + \lg (25 x^{4})$

= $\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{625} x^{- 11}) + \lg (25 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{625}) + \lg (\frac{1}{x^{11}})) + (\lg (25) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{625}) + \lg (\frac{1}{x^{11}}) + \lg (25) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{625}) - 11 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (625) - 11 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (625) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{625} \cdot 25 \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze