Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (94)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $94$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $94$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $94$ und auf $19^{2}$ = 19² > $94$ .

Und da wir bei $\log_{19} (94)$ ja das ☐ von 19^☐ = $94$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $94$ < $19^{2}$ = 19²

Es gilt somit: 1 < $\log_{19} (94)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 - \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1600} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1600} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4})$

= $\lg (\frac{1}{1600} x^{2}) + \lg (4 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1600}) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1))$

= $\lg (\frac{1}{1600}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1600}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 600) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 0$

= $- \lg (1 600) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1600} \cdot 4 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze