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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (196)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $196$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $196$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $196$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (196)$ = $2$ , eben weil $14$ ^$2$ = $196$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\sqrt[4]{13})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{13}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\sqrt[4]{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{13}$ als $13^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$ ^☐ = $13^{\frac{1}{4}}$

$\log_{13} (\sqrt[4]{13})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $13$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{13}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ = ${1 000 000 000}^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{9})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{9}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{9}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{9}{2}})$ = $- \frac{9}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{9}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1 000 000 000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (62)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $62$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $62$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $62$ und auf $12^{2}$ = 12² > $62$ .

Und da wir bei $\log_{12} (62)$ ja das ☐ von 12^☐ = $62$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $62$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (62)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (16)$ - $\log_{4} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (16)$ - $\log_{4} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{16}{4})$

= $\log_{4} (4)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\sqrt{x}) + 4 \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{3})$
= $- \lg (x) - \lg (x) + 12 \lg (x)$
= $10 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) + \lg (\frac{5}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) + \lg (\frac{5}{x})$

= $\lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) + \lg (5 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) - 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) - 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze