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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{361})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{361}$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{361}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $19$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $19$ ^☐ = $\frac{1}{361}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (\frac{1}{361})$ = $- 2$ , eben weil $19$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{361}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (29)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $29$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $29$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $29$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $29$ .

Und da wir bei $\log_{3} (29)$ ja das ☐ von 3^☐ = $29$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $29$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (29)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (81 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (81 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (81) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{4}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $4 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{18} (972)$ - $\log_{18} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{18} (972)$ - $\log_{18} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{18} (\frac{972}{3})$

= $\log_{18} (324)$

= $\log_{18} (18^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) - 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + \lg (x^{4}) - 2 \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) + 4 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{4}}) - \lg (\frac{500}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x^{4}}) - \lg (\frac{500}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x})$

= $\lg (25 x^{- 4}) - \lg (500 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - (\lg (500) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (500) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 4 \lg (x) - \lg (500) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 4 \lg (x) - \lg (500) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x)$

= $- \lg (500) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze