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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{125}}$ = $125^{- \frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $5^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{125}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{125}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (826 410)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $826 410$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $826 410$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $826 410$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $826 410$ .

Und da wir bei $\log_{10} (826 410)$ ja das ☐ von 10^☐ = $826 410$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $826 410$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (826 410)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $9 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) - 2 \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) - 2 \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{2})$
= $- \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{250} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{250} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50 x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{250} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (250) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze