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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{81})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{81}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{81}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{81}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{81})$ = $- 4$ , eben weil $3$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{81}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{43})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{43}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{43}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6 < $\frac{1}{43}$ und auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5 > $\frac{1}{43}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{43})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{43}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
2^-6 = $\frac{1}{2^{6}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{43}$ < $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5

Es gilt somit: -6 < $\log_{2} (\frac{1}{43})$ < -5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (5 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{4})$
= $3 \lg (x) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) - \lg (16)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) - \lg (16)$

= $\lg (4 x^{2}) + \lg (4 x^{- 3}) - \lg (16)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (16) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (16) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) - \lg (16) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) - \lg (16) + 0$

= $- \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze