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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{8})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{8})$ = $- 3$ , eben weil $2$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{196} (14)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = $196^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = $196^{\frac{1}{2}}$

$\log_{196} (14)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = $196^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = $196^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$ ^☐ = $14$ = $196^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{196} (14)$ = $\log_{196} (196^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $196$ ^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{34})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{34}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{34}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{34}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{34}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{34})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{34}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{34}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{34})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 8$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $- 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 3})$
= $\lg (x) - 2 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{100 000}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{2}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{100 000}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{2}{x^{3}})$

= $- \lg (100 000 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) + \lg (2 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100 000) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (100 000) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100 000) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100 000) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (100 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze