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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (9)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $9$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $9$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $9$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $9$ .

Und da wir bei $\log_{2} (9)$ ja das ☐ von 2^☐ = $9$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $9$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (9)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{11} (121 x) - \log_{11} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{11} (121 x) - \log_{11} (x)$
= $\log_{11} (121) + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $\log_{11} (11^{2}) + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $2 + \log_{11} (x) - \log_{11} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 50)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{- 2})$
= $- 4 \lg (x) - 8 \lg (x)$
= $- 12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{800 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{800 x^{3}})$

= $\lg (2 x^{4}) + \lg (4 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{800} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{800}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{800}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{800}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (800) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze