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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{32})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{32})$ = $- 5$ , eben weil $2$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $\log_{3} (3^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (7365)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $7365$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7365$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{3}$ = 10³ < $7365$ und auf $10^{4}$ = 10⁴ > $7365$ .

Und da wir bei $\log_{10} (7365)$ ja das ☐ von 10^☐ = $7365$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = $10^{3}$ < $7365$ < $10^{4}$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{10} (7365)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,03)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,03)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.03}{3})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3})$
= $- 6 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20 x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{500})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20 x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{500})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{- 4}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{500})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (25) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{500}) + \lg (1))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (25) + \lg (1) + \lg (\frac{1}{500}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x) + \lg (25) + 0 + \lg (\frac{1}{500}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (25) + 0 + \lg (1) - \lg (500) + 0$

= $4 \lg (x) - \lg (500) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 20)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze