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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{225} (\frac{1}{15})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{15}$ um: $\frac{1}{15}$ = $15^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 15 sondern zur Basis $225$ suchen und $225$ gerade 15² ist (also 15 = $\sqrt{225}$ = $225^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $15^{- 1}$ noch so um, dass sie $225$ als Basis hat:

$15^{- 1}$ = ${(225^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $225$ suchen, also die Hochzahl mit der man $225$ potenzieren muss, um auf $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $225$ ^☐ = $15^{- 1}$ = $225^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{225} (\frac{1}{15})$ = $\log_{225} (15^{- 1})$ = $\log_{225} (225^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $225$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{15}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (112)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $112$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $112$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $112$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $112$ .

Und da wir bei $\log_{5} (112)$ ja das ☐ von 5^☐ = $112$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $112$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (112)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (32)$ - $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (32)$ - $\log_{4} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{32}{2})$

= $\log_{4} (16)$

= $\log_{4} (4^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $6 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{11}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (50) + \lg (\frac{25}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (50) + \lg (\frac{25}{x})$

= $\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (50) + \lg (25 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}) + (\lg (50) + \lg (1)) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}) + \lg (50) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 0 + \lg (25) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 250) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 0 + \lg (25) - \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze