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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{1000}$ um: $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{1000}$ = $1000^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{1000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{38})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{38}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{38}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2^-6 < $\frac{1}{38}$ und auf $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5 > $\frac{1}{38}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{38})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{38}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -6 und -5 liegen, wegen:
2^-6 = $\frac{1}{2^{6}}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{38}$ < $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{2^{5}}$ = 2^-5

Es gilt somit: -6 < $\log_{2} (\frac{1}{38})$ < -5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 3}) + 4 \lg (x^{- 3}) + 4 \lg (x^{- 1})$
= $- 3 \lg (x) - 12 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 19 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{625} x) + \lg (\frac{25}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{625} x) + \lg (\frac{25}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{625} x) + \lg (25 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{625}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{625}) + \lg (x) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{625}) + \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (625) + \lg (x) + \lg (25) - \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (625) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{625} \cdot 25 \cdot 25)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze