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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{25})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{25})$ = $- 2$ , eben weil $5$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{25}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (37)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $37$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $37$ ist.

Dabei kommt man auf $4^{2}$ = 4² < $37$ und auf $4^{3}$ = 4³ > $37$ .

Und da wir bei $\log_{4} (37)$ ja das ☐ von 4^☐ = $37$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^{2}$ < $37$ < $4^{3}$ = 4³

Es gilt somit: 2 < $\log_{4} (37)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) - 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 20)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- 3}) + \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 2})$
= $6 \lg (x) + 2 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $6 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x) - \lg (800 x^{5}) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x) - \lg (800 x^{5}) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x) - (\lg (800) + \lg (x^{5})) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (4) + \lg (x) - \lg (800) - \lg (x^{5}) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x) - \lg (800) - 5 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + \lg (x) - \lg (800) - 5 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze