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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{128})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{128})$ = $- 7$ , eben weil $2$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (4)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $4$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $4$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $4$ und auf $5$ = 5¹ > $4$ .

Und da wir bei $\log_{5} (4)$ ja das ☐ von 5^☐ = $4$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $4$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{5} (4)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $4 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 5)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{2}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{2}) + \lg (\sqrt{x})$
= $4 \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{2}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $12 \lg (x) + 4 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{33}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100 x^{4}})$

= $\lg (4 x^{- 1}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (25) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) - 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze