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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10000})$ = $- 4$ , eben weil $10$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{10000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (10)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = $100^{\frac{1}{2}}$

$\log_{100} (10)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (10)$ = $\log_{100} (100^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (447 395 400)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $447 395 400$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $447 395 400$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{8}$ = 10⁸ < $447 395 400$ und auf $10^{9}$ = 10⁹ > $447 395 400$ .

Und da wir bei $\log_{10} (447 395 400)$ ja das ☐ von 10^☐ = $447 395 400$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = $10^{8}$ < $447 395 400$ < $10^{9}$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < $\log_{10} (447 395 400)$ < 9

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 \cdot 25)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{8} x^{4}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{2}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{8} x^{4}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{2}{x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{8} x^{4}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (2 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4}) + (\lg (4) + \lg (x^{2})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4}) + \lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8}) + 4 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (8) + 4 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze