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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

$\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = $10^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (56969)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $56969$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $56969$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{4}$ = 10⁴ < $56969$ und auf $10^{5}$ = 10⁵ > $56969$ .

Und da wir bei $\log_{10} (56969)$ ja das ☐ von 10^☐ = $56969$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
10⁴ = $10^{4}$ < $56969$ < $10^{5}$ = 10⁵

Es gilt somit: 4 < $\log_{10} (56969)$ < 5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (5 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (5 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $1 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (768)$ - $\log_{2} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (768)$ - $\log_{2} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{768}{3})$

= $\log_{2} (256)$

= $\log_{2} (2^{8})$

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $- 2 \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{1}{250 x^{10}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{1}{250 x^{10}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 4}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{1}{250} x^{- 10})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (5) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (\frac{1}{x^{10}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (\frac{1}{x^{10}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) - 10 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) - 10 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze