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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als $10^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{5}}$

$\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{5}$ um: $\frac{1}{5}$ = $5^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{- 1}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{- 1}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{- 1}$ = $25^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (\frac{1}{5})$ = $\log_{25} (5^{- 1})$ = $\log_{25} (25^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{12})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{12}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{12}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 < $\frac{1}{12}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{12}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{12})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{12}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^{2}}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{12}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{5} (\frac{1}{12})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (200)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + 4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + 4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{3}) + 4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $3 \lg (x) - 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20) + \lg (\frac{1}{400}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20) + \lg (\frac{1}{400}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}})$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{400}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (1) + (\lg (\frac{1}{400}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (20) + \lg (1) + \lg (\frac{1}{400}) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 0 + \lg (\frac{1}{400}) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 0 + \lg (1) - \lg (400) + 0 - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Intervall bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze