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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{\sqrt{14}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{14}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{14}}$ = $14^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{14} (\frac{1}{\sqrt{14}})$ = $\log_{14} (14^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $14^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $14$ suchen, also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $14^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $14^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{14} (\frac{1}{\sqrt{14}})$ = $\log_{14} (14^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $14$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{14}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{8237})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8237}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8237}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{8237}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{8237}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{8237})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{8237}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{8237}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{8237})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (100) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{2}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $2 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (20)$ - $\log_{4} (20)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (20)$ - $\log_{4} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{20}{20})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x}) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x}) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$

= $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 1}) + \lg (25 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze