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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{289} (17)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = $289^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $17$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

$17$ = $289^{\frac{1}{2}}$

$\log_{289} (17)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $17$ = $289^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf $17$ = $289^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$ ^☐ = $17$ = $289^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{289} (17)$ = $\log_{289} (289^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $289$ ^{$\frac{1}{2}$} = $17$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{62})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{62}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{62}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{62}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{62}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{62})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{62}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{62}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{62})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,003)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,003)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.003}{3})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- 1}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $3 \lg (x) - \lg (x) + \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20} x) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20} x) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{20} x) + \lg (25 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze