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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\sqrt[3]{14})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{14}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{14}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\sqrt[3]{14}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{14}$ als $14^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $14$ ^☐ = $14^{\frac{1}{3}}$

$\log_{14} (\sqrt[3]{14})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $14$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{14}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (27)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$

$\log_{9} (27)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{3}$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (27)$ = $\log_{9} (9^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{2})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{2}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{2})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{5} (\frac{1}{2})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{17} (289 x) - \log_{17} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{17} (289 x) - \log_{17} (x)$
= $\log_{17} (289) + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $\log_{17} (17^{2}) + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $2 + \log_{17} (x) - \log_{17} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (25 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{- 3})$
= $2 \lg (x) + 8 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $7 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x}) - \lg (\frac{125 000}{x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x}) - \lg (\frac{125 000}{x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) - \lg (125 000 x^{- 2}) + \lg (5 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (125 000) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (125 000) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) - \lg (125 000) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (125 000) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (125 000) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze