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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1 000 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1 000 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1 000 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1 000 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1 000 000 000)$ = $9$ , eben weil $10$ ^$9$ = $1 000 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{17} (\sqrt[4]{17})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{17}$ zur Basis $17$ , also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{17}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$ ^☐ = $\sqrt[4]{17}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{17}$ als $17^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $17$ ^☐ = $17^{\frac{1}{4}}$

$\log_{17} (\sqrt[4]{17})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $17$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{17}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{324} (\frac{1}{18})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{18}$ um: $\frac{1}{18}$ = $18^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 18 sondern zur Basis $324$ suchen und $324$ gerade 18² ist (also 18 = $\sqrt{324}$ = $324^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $18^{- 1}$ noch so um, dass sie $324$ als Basis hat:

$18^{- 1}$ = ${(324^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{324} (\frac{1}{18})$ = $\log_{324} (18^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $324$ suchen, also die Hochzahl mit der man $324$ potenzieren muss, um auf $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $324$ ^☐ = $18^{- 1}$ = $324^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{324} (\frac{1}{18})$ = $\log_{324} (18^{- 1})$ = $\log_{324} (324^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $324$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{18}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{260})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{260}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{260}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{289}$ = $\frac{1}{17^{2}}$ = 17^-2 < $\frac{1}{260}$ und auf $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1 > $\frac{1}{260}$ .

Und da wir bei $\log_{17} (\frac{1}{260})$ ja das ☐ von 17^☐ = $\frac{1}{260}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
17^-2 = $\frac{1}{17^{2}}$ = $\frac{1}{289}$ < $\frac{1}{260}$ < $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{17} (\frac{1}{260})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000}{x}) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000}{x}) + 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $3 - \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (2)$ - $\log_{4} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (2)$ - $\log_{4} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{2}{2})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{6}}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{200})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{50}{x^{6}}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{200})$

= $\lg (50 x^{- 6}) + \lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{200})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (4) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{200}) + \lg (1))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (4) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{200}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (200) + 0$

= $- 2 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze