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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (121)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (121)$ = $2$ , eben weil $11$ ^$2$ = $121$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{13} (29)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $13$ er-Potenzen in der Näher von $29$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $29$ ist.

Dabei kommt man auf $13$ = 13¹ < $29$ und auf $13^{2}$ = 13² > $29$ .

Und da wir bei $\log_{13} (29)$ ja das ☐ von 13^☐ = $29$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
13¹ = $13$ < $29$ < $13^{2}$ = 13²

Es gilt somit: 1 < $\log_{13} (29)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 50)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{3}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $4 \lg (x^{3}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $12 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{5 000 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{5 000 x^{3}})$

= $\lg (25 x^{- 1}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{5000} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (2) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5000}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5 000) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (5 000) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze