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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000})$ = $- 5$ , eben weil $10$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{100.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{2})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 1}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 1}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{2})$ = $\log_{4} (2^{- 1})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{45})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{45}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{45}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{45}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{45}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{45})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{45}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{45}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{45})$ < -2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (30)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (30)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{30}{3})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{4}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{4}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$
= $4 \lg (x^{4}) + 4 \lg (x^{- 1})$
= $16 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (x^{3})$

= $\lg (5 x^{- 2}) + \lg (20 x^{- 1}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (1) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (1) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (1) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (1) + 3 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze