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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000})$ = $- 6$ , eben weil $10$ ^{$- 6$} = $\frac{1}{1.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$ = ${(3^{3})}^{- 1}$ = $3^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{130})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{130}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{130}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{289}$ = $\frac{1}{17^{2}}$ = 17^-2 < $\frac{1}{130}$ und auf $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1 > $\frac{1}{130}$ .

Und da wir bei $\log_{17} (\frac{1}{130})$ ja das ☐ von 17^☐ = $\frac{1}{130}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
17^-2 = $\frac{1}{17^{2}}$ = $\frac{1}{289}$ < $\frac{1}{130}$ < $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{17} (\frac{1}{130})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40)$ - $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (40)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{40}{4})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 4 \lg (x^{4})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 4 \lg (x^{4})$
= $- 2 \lg (x) + 16 \lg (x)$
= $14 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125 x^{9}}) + \lg (25 x) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{125 x^{9}}) + \lg (25 x) + \lg (5 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{125} x^{- 9}) + \lg (25 x) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) + (\lg (25) + \lg (x)) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) - 9 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125) - 9 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze