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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{128})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{128}$ um: $\frac{1}{128}$ = $128^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{128}$ = $128^{- 1}$ = ${(2^{7})}^{- 1}$ = $2^{- 7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 7}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{128})$ = $\log_{4} (2^{- 7})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 7}$ = $4^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{128})$ = $\log_{4} (2^{- 7})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (7)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $7$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $7$ und auf $3^{2}$ = 3² > $7$ .

Und da wir bei $\log_{3} (7)$ ja das ☐ von 3^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $7$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (7)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (2)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{128}{2})$

= $\log_{2} (64)$

= $\log_{2} (2^{6})$

= 6

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $2 \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1000 x^{4}) - \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (1000 x^{4}) - \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (4 x)$

= $- \lg (1000 x^{4}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1000) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $- \lg (1000) - \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1000) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 25 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze