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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\sqrt{12})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{12}$ um: $\sqrt{12}$ = $12^{\frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\sqrt{12})$ = $\log_{12} (12^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\sqrt{12})$ = $\log_{12} (12^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{12}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (724 153)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $724 153$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $724 153$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $724 153$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $724 153$ .

Und da wir bei $\log_{10} (724 153)$ ja das ☐ von 10^☐ = $724 153$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $724 153$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (724 153)$ < 6

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (25 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$
= $\frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (10 x^{6}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (10 x^{6}) - \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{2})$

= $- \lg (10 x^{6}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (10) + \lg (x^{6})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (10) - \lg (x^{6}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (10) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (10) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 2 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze