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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{19} (361)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$ , also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$ ^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{19} (361)$ = $2$ , eben weil $19$ ^$2$ = $361$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt[3]{15})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{15}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{15}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\sqrt[3]{15}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{15}$ als $15^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{3}}$

$\log_{15} (\sqrt[3]{15})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{15}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{361} (19)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = $361^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = $361^{\frac{1}{2}}$

$\log_{361} (19)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$ ^☐ = $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{361} (19)$ = $\log_{361} (361^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $361$ ^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (\frac{1}{106})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{106}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{106}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{289}$ = $\frac{1}{17^{2}}$ = 17^-2 < $\frac{1}{106}$ und auf $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1 > $\frac{1}{106}$ .

Und da wir bei $\log_{17} (\frac{1}{106})$ ja das ☐ von 17^☐ = $\frac{1}{106}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
17^-2 = $\frac{1}{17^{2}}$ = $\frac{1}{289}$ < $\frac{1}{106}$ < $\frac{1}{17}$ = $\frac{1}{17}$ = 17^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{17} (\frac{1}{106})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{100 000}{x}) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{100 000}{x}) + 4 \lg (x)$
= $\lg (100 000) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 - \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (81)$ - $\log_{3} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (81)$ - $\log_{3} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{81}{3})$

= $\log_{3} (27)$

= $\log_{3} (3^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) - 2 \lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) - 2 \lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{4}) - 2 \lg (x^{- 1}) + 4 \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x) + 2 \lg (x) - 8 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{100.000} x^{2}) + \lg (50 x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{100.000} x^{2}) + \lg (50 x)$

= $\lg (20 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{100.000} x^{2}) + \lg (50 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x^{2})) + (\lg (50) + \lg (x))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100.000}) + 2 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100 000) + 2 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

= $- \lg (100 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze