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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{361} (19)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = $361^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = $361^{\frac{1}{2}}$

$\log_{361} (19)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$ ^☐ = $19$ = $361^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{361} (19)$ = $\log_{361} (361^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $361$ ^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{15})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{15}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{15}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 < $\frac{1}{15}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3 > $\frac{1}{15}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{15})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{15}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^{4}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{15}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{2} (\frac{1}{15})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (25) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{2}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,02)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,02)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.02}{2})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x})$
= $4 \lg (x^{- 1})$
= $- 4 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{2 x^{3}}) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20} x)$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 3}) + \lg (25 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{20} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze