Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

$\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{4})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{4})$ = $\log_{4} (4^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{8})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 < $\frac{1}{8}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{8}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{8})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{8}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^{2}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{4} (\frac{1}{8})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (\frac{64}{x}) + \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (\frac{64}{x}) + \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (64) - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4^{3}) - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $3 - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{128}{4})$

= $\log_{2} (32)$

= $\log_{2} (2^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 2 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{3}}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{3}}) + \lg (5 x^{2})$

= $\lg (20 x) + \lg (\frac{1}{10000} x^{- 3}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + (\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) - 3 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (10 000) - 3 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze