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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{32}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{32}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{32}}$ = $32^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^{5}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{32}}$ = $32^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{5})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{5}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{32}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{5}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{5}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{32}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{5}{2}})$ = $- \frac{5}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{32}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{8348})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8348}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8348}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{8348}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{8348}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{8348})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{8348}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{8348}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{8348})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{500}{5})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{3})$
= $4 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) + 6 \lg (x)$
= $\frac{9}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) - \lg (\frac{5}{8 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) - \lg (\frac{5}{8 x^{3}})$

= $\lg (25) + \lg (25 x^{- 3}) - \lg (\frac{5}{8} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (1) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{5}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (25) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{5}{8}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 0 + \lg (25) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{5}{8}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 0 + \lg (25) - 3 \lg (x) - \lg (5) + \lg (8) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (25) + \lg (8) - \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 25 \cdot 8}{5})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

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log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze