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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

$\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{6})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 < $\frac{1}{6}$ und auf $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1 > $\frac{1}{6}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{6})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{6}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
3^-2 = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ < $\frac{1}{6}$ < $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 3^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{3} (\frac{1}{6})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (9 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (9 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (9) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{2}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $2 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,002)$ - $\lg (2)$ .

Lösung einblenden

$\lg (0,002)$ - $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.002}{2})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 4 \lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 3}) + 4 \lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{- 1})$
= $- 3 \lg (x) + 8 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2}) + \lg (\frac{2}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2}) + \lg (\frac{2}{x^{3}})$

= $\lg (2 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{4} x^{2}) + \lg (2 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (4) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze