Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1000})$ = $- 3$ , eben weil $10$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (1000)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{3}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $100^{\frac{3}{2}}$

$\log_{100} (1000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{3}$ = $100^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{3}$ = $100^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{3}$ = $100^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (1000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{3}{2}$} = $1000$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{3})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{3})$ < -0

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $6 + \lg (x) - \lg (x)$
= $6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (500)$ + $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 20)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 2})$
= $6 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{4})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{5}) + \lg (50 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{5})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{5}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{1000}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000) + 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze