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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[5]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{5}}$

$\log_{3} (\sqrt[5]{3})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (89)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $89$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $89$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $89$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $89$ .

Und da wir bei $\log_{2} (89)$ ja das ☐ von 2^☐ = $89$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $89$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (89)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0,0001}{x}) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 4 - \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) - 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (30)$ - $\lg (3)$ .

Lösung einblenden

$\lg (30)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{30}{3})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) - 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) - 2 \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 3})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + 4 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\frac{3}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{8000} x) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{8000} x) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20} x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{8000} x) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}) + \lg (x) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{8000}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (8 000) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (8 000) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze