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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{302})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{302}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{302}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{19^{2}}$ = 19^-2 < $\frac{1}{302}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{302}$ .

Und da wir bei $\log_{19} (\frac{1}{302})$ ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{302}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{19^{2}}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{302}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{19} (\frac{1}{302})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (64 x) - \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (64 x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (64) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{6}) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $6 + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $6$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (25 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{20 x^{8}}) + \lg (5)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{20 x^{8}}) + \lg (5)$

= $\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{20} x^{- 8}) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{8}})) + (\lg (5) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) + \lg (5) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) - 8 \lg (x) + \lg (5) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) - 8 \lg (x) + \lg (5) + 0$

= $- 5 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze