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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (\frac{1}{1000})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = $1000^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = $1000^{- 1}$ = ${(10^{3})}^{- 1}$ = $10^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{- 3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{- 3}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{100} (\frac{1}{1000})$ = $\log_{100} (10^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{- 3}$ = $100^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (\frac{1}{1000})$ = $\log_{100} (10^{- 3})$ = $\log_{100} (100^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $100$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{19} (\frac{1}{274})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{274}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{274}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{361}$ = $\frac{1}{19^{2}}$ = 19^-2 < $\frac{1}{274}$ und auf $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1 > $\frac{1}{274}$ .

Und da wir bei $\log_{19} (\frac{1}{274})$ ja das ☐ von 19^☐ = $\frac{1}{274}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19^-2 = $\frac{1}{19^{2}}$ = $\frac{1}{361}$ < $\frac{1}{274}$ < $\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$ = 19^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{19} (\frac{1}{274})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,01 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,01 x) + \lg (x)$
= $\lg (0,01) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 2}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $- 2 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) - 2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (450)$ - $\log_{3} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (450)$ - $\log_{3} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{450}{50})$

= $\log_{3} (9)$

= $\log_{3} (3^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{100}{x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{100}{x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$

= $- \lg (100 x^{- 2}) + \lg (5 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{5}))$

= $- \lg (100) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) + 2 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) + 2 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 5 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze