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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ = ${10000000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10000000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $104$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $104$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $104$ und auf ${19}^2$ = 19² > $104$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $104$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $104$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg \left(\frac{10}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg \left(5\right)$ - $\lg \left(50\right)$.

Lösung einblenden

$\lg \left(5\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(x^2\right)$ zu einem Vielfachen von $\lg \left(x\right)$.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+4\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+4\lg \left(x^2\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+8\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)-\lg \left(8000\right)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)-\lg \left(8000\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)-\lg \left(8000\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(8000\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(8000\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(8000\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(8000\right)+0$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$