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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

$\log_{5} (\sqrt[3]{5})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (10)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = $100^{\frac{1}{2}}$

$\log_{100} (10)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10$ = $100^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (10)$ = $\log_{100} (100^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $2 \lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{- 3}) + 2 \lg (x^{- 1})$
= $4 \lg (x) - 6 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{200}{x^{2}}) + \lg (\frac{4}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{200}{x^{2}}) + \lg (\frac{4}{x^{2}})$

= $\lg (50 x^{2}) - \lg (200 x^{- 2}) + \lg (4 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) - (\lg (200) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) - \lg (200) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (200) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (200) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze