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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

$\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{125})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{125}$ um: $\sqrt{125}$ = $125^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{125}$ = $125^{\frac{1}{2}}$ = ${(5^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $5^{\frac{3}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{125})$ = $\log_{5} (5^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{125})$ = $\log_{5} (5^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{125}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (28)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $28$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $28$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{4}$ = 2⁴ < $28$ und auf $2^{5}$ = 2⁵ > $28$ .

Und da wir bei $\log_{2} (28)$ ja das ☐ von 2^☐ = $28$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^{4}$ < $28$ < $2^{5}$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < $\log_{2} (28)$ < 5

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $9 - \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) + 9$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (135)$ - $\log_{3} (5)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (135)$ - $\log_{3} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{135}{5})$

= $\log_{3} (27)$

= $\log_{3} (3^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (20 x^{5}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{4}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (20 x^{5}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{4}{x})$

= $- \lg (20 x^{5}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (20) + \lg (x^{5})) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (20) - \lg (x^{5}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (20) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze