Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1000)$ = $3$ , eben weil $10$ ^$3$ = $1000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (128)$ .

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{7}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$

$\log_{4} (128)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (128)$ = $\log_{4} (4^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (73)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $73$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $73$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $73$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $73$ .

Und da wir bei $\log_{3} (73)$ ja das ☐ von 3^☐ = $73$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $73$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (73)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{19} (\frac{361}{x}) + \log_{19} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{19} (\frac{361}{x}) + \log_{19} (x)$
= $\log_{19} (361) - \log_{19} (x) + \log_{19} (x)$
= $\log_{19} (19^{2}) - \log_{19} (x) + \log_{19} (x)$
= $2 - \log_{19} (x) + \log_{19} (x)$
= $2$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (50)$ - $\lg (5)$ .

Lösung einblenden

$\lg (50)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{50}{5})$

= $\lg (10)$

= 1

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{4})$
= $- 2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{125}{x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{5}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{125}{x})$

= $\lg (5 x^{- 6}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) - \lg (125 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (125) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (125) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze