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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[4]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{4}}$

$\log_{5} (\sqrt[4]{5})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{5}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{236})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $16$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{236}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{236}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{16^{2}}$ = 16^-2 < $\frac{1}{236}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1 > $\frac{1}{236}$ .

Und da wir bei $\log_{16} (\frac{1}{236})$ ja das ☐ von 16^☐ = $\frac{1}{236}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
16^-2 = $\frac{1}{16^{2}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{236}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{16}$ = 16^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{16} (\frac{1}{236})$ < -1

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) - 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{11} (363)$ - $\log_{11} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{11} (363)$ - $\log_{11} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{11} (\frac{363}{3})$

= $\log_{11} (121)$

= $\log_{11} (11^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (x^{4})$
= $8 \lg (x)$
= $8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x}) - \lg (\frac{625 000}{x^{4}}) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x}) - \lg (\frac{625 000}{x^{4}}) + \lg (\frac{25}{x^{5}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) - \lg (625 000 x^{- 4}) + \lg (25 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (625 000) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (625 000) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) - \lg (625 000) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (625 000) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (625 000) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625.000} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze