Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{16} (256)$ = $2$ , eben weil $16$ ^$2$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{3}}$

$\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $12^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (14)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $14$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $14$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{3}$ = 2³ < $14$ und auf $2^{4}$ = 2⁴ > $14$ .

Und da wir bei $\log_{2} (14)$ ja das ☐ von 2^☐ = $14$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^{3}$ < $14$ < $2^{4}$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{2} (14)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) + \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) + \lg (x)$
= $- 5$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250)$ + $\lg (4)$ .

Lösung einblenden

$\lg (250)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{2 500 x^{2}}) + \lg (5) + \lg (50 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{2 500 x^{2}}) + \lg (5) + \lg (50 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{2500} x^{- 2}) + \lg (5) + \lg (50 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (5) + \lg (1)) + (\lg (50) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (1) + \lg (50) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (50) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (2 500) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (50) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze