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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (1 000 000 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1 000 000 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1 000 000 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $1 000 000 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (1 000 000 000)$ = $9$ , eben weil $10$ ^$9$ = $1 000 000 000$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\sqrt{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{16}$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $\sqrt{16}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{16}$ als $16^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $16$ ^☐ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\sqrt{16})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{16}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{16}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{16}}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{\sqrt{16}})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{16}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{10})$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{10}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{10}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2^-4 < $\frac{1}{10}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3 > $\frac{1}{10}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{10})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{10}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^{4}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{10}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{2} (\frac{1}{10})$ < -3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{2} (128 x) - \log_{2} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{2} (128 x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (128) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $\log_{2} (2^{7}) + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $7 + \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$
= $7$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (6 400)$ - $\log_{2} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (6 400)$ - $\log_{2} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{6400}{50})$

= $\log_{2} (128)$

= $\log_{2} (2^{7})$

= 7

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x^{2}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{2})$
= $8 \lg (x) - 2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $8 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (25 x) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (25 x) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (25 x) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + (\lg (25) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze