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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = $1000^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = $10^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ = $1000^{- \frac{1}{2}}$ = ${(10^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $10^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\frac{1}{\sqrt{1000}})$ = $\log_{10} (10^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $10$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{1000}}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (10)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $10$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $10$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $10$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $10$ .

Und da wir bei $\log_{3} (10)$ ja das ☐ von 3^☐ = $10$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $10$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (10)$ < 3

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000}{x}) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000}{x}) - \lg (x)$
= $\lg (10 000) - \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{4}) - \lg (x) - \lg (x)$
= $4 - \lg (x) - \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 4$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (50)$ - $\log_{4} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (50)$ - $\log_{4} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{50}{50})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{25}{x}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{2}) - \lg (\frac{25}{x}) + \lg (5 x^{2})$

= $\lg (5 x^{2}) - \lg (25 x^{- 1}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) - (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) - \lg (25) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (25) + \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (25) + \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze