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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{64})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{64})$ = $- 3$ , eben weil $4$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = $27^{- 1}$ = ${(3^{3})}^{- 1}$ = $3^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 3}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 3}$ = $9^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{27})$ = $\log_{9} (3^{- 3})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (8 883 516)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $8 883 516$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $8 883 516$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $8 883 516$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $8 883 516$ .

Und da wir bei $\log_{10} (8 883 516)$ ja das ☐ von 10^☐ = $8 883 516$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $8 883 516$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (8 883 516)$ < 7

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) + 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400 000 000)$ + $\lg (25)$ .

Lösung einblenden

$\lg (400 000 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (400 000 000 \cdot 25)$

= $\lg (10 000 000 000)$

= $\lg (10^{10})$

= 10

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + 4 \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{2}) + 4 \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (\frac{1}{40})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (\frac{1}{40})$

= $\lg (2 x^{4}) + \lg (20 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{40})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (1))$

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) + 0$

= $3 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

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log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze