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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ = $- 9$ , eben weil $10$ ^{$- 9$} = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (40)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $40$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $40$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $40$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $40$ .

Und da wir bei $\log_{3} (40)$ ja das ☐ von 3^☐ = $40$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $40$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (40)$ < 4

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 3$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (36)$ - $\log_{3} (4)$ .

Lösung einblenden

$\log_{3} (36)$ - $\log_{3} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{36}{4})$

= $\log_{3} (9)$

= $\log_{3} (3^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 1})$
= $\lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x}) + \lg (\frac{50}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{25} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{5 x}) + \lg (\frac{50}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{25} x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 1}) + \lg (50 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{25} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $\lg (50) - \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{25} \cdot 5)$

= $\lg (10)$

= $1$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

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1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze