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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (9)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (9)$ = $2$ , eben weil $3$ ^$2$ = $9$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (76 706 748)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $76 706 748$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $76 706 748$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $76 706 748$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $76 706 748$ .

Und da wir bei $\log_{10} (76 706 748)$ ja das ☐ von 10^☐ = $76 706 748$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $76 706 748$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (76 706 748)$ < 8

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 10$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (12 800)$ - $\log_{2} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{2} (12 800)$ - $\log_{2} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{12800}{50})$

= $\log_{2} (256)$

= $\log_{2} (2^{8})$

= 8

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{50000} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{50000} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x^{4}})$

= $\lg (25 x^{- 6}) + \lg (\frac{1}{50000} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (\frac{1}{50000}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{50000}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50000}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50 000) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (50 000) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50000} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze