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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt{3})$ .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{3} (\sqrt{3})$ = $\log_{3} (3^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (64)$ liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $64$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $64$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $64$ und auf $12^{2}$ = 12² > $64$ .

Und da wir bei $\log_{12} (64)$ ja das ☐ von 12^☐ = $64$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $64$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (64)$ < 2

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) - 1$

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ - $\lg (20)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000)$ - $\lg (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{2000}{20})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3})$
= $3 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (250 x) - \lg (\frac{1}{5} x) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (250 x) - \lg (\frac{1}{5} x) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}})$

= $- \lg (250 x) - \lg (\frac{1}{5} x) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (250) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (250) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (250) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (250) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

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log berechnen (einfach)

log berechnen

log berechnen (schwer)

log im Interval bestimmen

1. Logarithmusgesetz einfach

1. Logarithmusgesetz rückwärts

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze