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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 e^{- 2 t x^{2} + 2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 e^{- 2 t x^{2} + 2 t x}$

$f'(x) =$ $- 4 e^{- 2 t x^{2} + 2 t x} \cdot (- 4 t x + 2 t)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 t x^{2} + 2 t x} (- 4 t x + 2 t)$

= $- 4 (- 4 t x + 2 t) e^{- 2 t x^{2} + 2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $- 4 x \cdot e^{x} - 2 x^{2} \cdot e^{x}$

= $- 4 x \cdot e^{x} - 2 x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x)$

= $(- 2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{x}$

= $- 2 \cdot e^{x} x (x + 2)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} + 2 t x^{2}$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 52 x - 2$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 2 t x^{2}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 4 t x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 t \cdot (- 2)$ = $- 8 t - 36$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 52$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 8 t - 36$ soll gleich $- 52$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 8 t - 36$ = $- 52$ nach t auf.

$- 8 t - 36$	=	$- 52$	\| $+ 36$
$- 8 t$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(x - 1) \cdot e^{2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- x - 3$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 t x} + (x - 1) \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $e^{2 t x} + (x - 1) \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} + 2 t (x - 1) \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (1 + 2 t x - 2 t)$

= $e^{2 t x} \cdot (2 t x + (- 2 t + 1))$

= $(2 t x + (- 2 t + 1)) \cdot e^{2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $e^{2 t \cdot 0} + 2 t \cdot (0 - 1) \cdot e^{2 t \cdot 0}$ = $1 - 2 t$ = $- 2 t + 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 1$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- 2 t + 1$ soll gleich $- 1$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 2 t + 1$ = $- 1$ nach t auf.

$- 2 t + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- 2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.