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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} \cdot e^{2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} \cdot e^{2 t x} - 3 x^{3} \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{2 t x} - 3 x^{3} \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{2 t x} - 6 t x^{3} \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (- 9 x^{2} - 6 t x^{3})$

= $e^{2 t x} \cdot (- 6 t x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 6 t x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t x^{3} - t x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t x^{3} - t x$

$f'(x) =$ $- 9 t x^{2} - t$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} + 6 x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $10 x - 9$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $t x^{2} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 t x + 6$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $2 t \cdot 2 + 6$ = $4 t + 6$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $10$ x-9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $4 t + 6$ soll gleich $10$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $4 t + 6$ = $10$ nach t auf.

$4 t + 6$	=	$10$	\| $- 6$
$4 t$	=	$4$	\|: $4$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $t x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $2 x - 5$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $t x$

$f'(x) =$ $t$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $t$ = $t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $2$ x-5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $t$ soll gleich $2$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $t$ = $2$ nach t auf.

t

2

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.