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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} \cdot e^{- t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{2} \cdot e^{- t x}$

$f'(x) =$ $- 6 x \cdot e^{- t x} - 3 x^{2} \cdot e^{- t x} \cdot (- t)$

= $- 6 x \cdot e^{- t x} - 3 x^{2} \cdot (- t e^{- t x})$

= $- 6 x \cdot e^{- t x} + 3 t x^{2} \cdot e^{- t x}$

= $e^{- t x} \cdot (3 t x^{2} - 6 x)$

= $(3 t x^{2} - 6 x) \cdot e^{- t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{- t x - 2 t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- t x - 2 t}$

$f'(x) =$ $- e^{- t x - 2 t} \cdot (- t)$

= $t e^{- t x - 2 t}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 2 t x$ im Punkt B( $3$ |f( $3$ )) parallel zur Gerade y= $7 x + 6$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $x^{2} + 2 t x$

$f'(x) =$ $2 x + 2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $3$ ein:

f'( $3$ )= $2 \cdot 3 + 2 t$ = $2 t + 6$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $7$ x+6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $3$ )= $2 t + 6$ soll gleich $7$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $2 t + 6$ = $7$ nach t auf.

$2 t + 6$	=	$7$	\| $- 6$
$2 t$	=	$1$	\|: $2$
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- 28 x - 4$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 t x} + (2 x - 5) \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $2 e^{2 t x} + (2 x - 5) \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $2 e^{2 t x} + 2 t (2 x - 5) \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (2 + 4 t x - 10 t)$

= $e^{2 t x} \cdot (4 t x + (- 10 t + 2))$

= $(4 t x + (- 10 t + 2)) \cdot e^{2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $2 e^{2 t \cdot 0} + 2 t \cdot (2 \cdot 0 - 5) \cdot e^{2 t \cdot 0}$ = $2 - 10 t$ = $- 10 t + 2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 28$ x-4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- 10 t + 2$ soll gleich $- 28$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 10 t + 2$ = $- 28$ nach t auf.

$- 10 t + 2$	=	$- 28$	\| $- 2$
$- 10 t$	=	$- 30$	\|:( $- 10$ )
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.