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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- t^{2} x^{2} + 2 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t^{2} x^{2} + 2 t^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 t^{2} x + 0$

= $- 2 t^{2} x$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $e^{t x - t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{t x - t}$

$f'(x) =$ $e^{t x - t} \cdot t$

= $t e^{t x - t}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} + t x$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $6 x + 2$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $x^{3} + t x$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + t$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ )= $3 \cdot 1^{2} + t$ = $t + 3$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $6$ x+2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $t + 3$ soll gleich $6$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $t + 3$ = $6$ nach t auf.

$t + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 t^{2} x^{3} + 2 t^{2}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $24 x + 8$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 t^{2} x^{3} + 2 t^{2}$

$f'(x) =$ $6 t^{2} x^{2} + 0$

= $6 t^{2} x^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $6 t^{2} \cdot {(- 1)}^{2}$ = $6 t^{2} \cdot 1$ = $6 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $24$ x+8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $6 t^{2}$ soll gleich $24$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $6 t^{2}$ = $24$ nach t auf.

$6 t^{2}$	=	$24$	\|: $6$
$t^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
t₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Für t= $- 2$ und t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.