Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- x^{3} \cdot e^{t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} \cdot e^{t x}$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} \cdot e^{t x} - x^{3} \cdot e^{t x} \cdot t$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{t x} - x^{3} \cdot t e^{t x}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{t x} - t x^{3} \cdot e^{t x}$

= $e^{t x} \cdot (- 3 x^{2} - t x^{3})$

= $e^{t x} \cdot (- t x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- t x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 t x \cdot e^{- x + 1} + t x^{2} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 t x \cdot e^{- x + 1} + t x^{2} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $2 t x \cdot e^{- x + 1} - t x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (2 t x - t x^{2})$

= $e^{- x + 1} \cdot (- t x^{2} + 2 t x)$

= $(- t x^{2} + 2 t x) \cdot e^{- x + 1}$

= $t x e^{- x + 1} (- x + 2)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{t x - 2 t} + 3 x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $x - 1$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- e^{t x - 2 t} + 3 x$

$f'(x) =$ $- e^{t x - 2 t} \cdot t + 3$

= $- t e^{t x - 2 t} + 3$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $- t e^{t \cdot 2 - 2 t} + 3$ = $- t + 3$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $1$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- t + 3$ soll gleich $1$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- t + 3$ = $1$ nach t auf.

$- t + 3$	=	$1$	\| $- 3$
$- t$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t^{2} x + t$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 3 x + 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 t^{2} x + t$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} + 0$

= $- 3 t^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ ) = $- 3 t^{2}$ = $- 3 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 3$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 3 t^{2}$ soll gleich $- 3$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 3 t^{2}$ = $- 3$ nach t auf.

$- 3 t^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$t^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
t₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Für t= $- 1$ und t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.