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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t x^{4} + t x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t x^{4} + t x^{3}$

$f'(x) =$ $- 12 t x^{3} + 3 t x^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{2} + 2 x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 10 x + 5$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $6 t x + 2$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $6 t \cdot (- 2) + 2$ = $- 12 t + 2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 10$ x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 12 t + 2$ soll gleich $- 10$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 12 t + 2$ = $- 10$ nach t auf.

$- 12 t + 2$	=	$- 10$	\| $- 2$
$- 12 t$	=	$- 12$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t^{2} x^{3} + t$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{3}{2} x + 5$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{3} + t$

$f'(x) =$ $- 6 t^{2} x^{2} + 0$

= $- 6 t^{2} x^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $- 6 t^{2} \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 6 t^{2} \cdot 1$ = $- 6 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{3}{2}$ x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 6 t^{2}$ soll gleich $- \frac{3}{2}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 6 t^{2}$ = $- \frac{3}{2}$ nach t auf.

$- 6 t^{2}$	=	$- \frac{3}{2}$	\|: $(- 6)$
$t^{2}$	=	$\frac{1}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{4}}$	= $- \frac{1}{2}$
t₂	=	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $\frac{1}{2}$

Für t= $- \frac{1}{2}$ und t= $\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.