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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 e^{- 2 t^{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 t^{2} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 t^{2} x} \cdot (- 2 t^{2})$

= $- 6 t^{2} e^{- 2 t^{2} x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{- 3 t x - 2 t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t e^{- 3 t x - 2 t}$

$f'(x) =$ $t e^{- 3 t x - 2 t} \cdot (- 3 t)$

= $- 3 t^{2} e^{- 3 t x - 2 t}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $5 t e^{x + 1} - 10 x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- 5 x - 1$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $5 t e^{x + 1} - 10 x$

$f'(x) =$ $5 t e^{x + 1} \cdot 1 - 10$

= $5 t e^{x + 1} - 10$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ )= $5 t e^{- 1 + 1} - 10$ = $5 t - 10$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 5$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $5 t - 10$ soll gleich $- 5$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $5 t - 10$ = $- 5$ nach t auf.

$5 t - 10$	=	$- 5$	\| $+ 10$
$5 t$	=	$5$	\|: $5$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2} x$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $\frac{8}{3} x - 2$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2} x$

$f'(x) =$ $4 t^{2} x + 2 t^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ ) = $4 t^{2} \cdot 1 + 2 t^{2}$ = $4 t^{2} + 2 t^{2}$ = $6 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{8}{3}$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $6 t^{2}$ soll gleich $\frac{8}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $6 t^{2}$ = $\frac{8}{3}$ nach t auf.

$6 t^{2}$	=	$\frac{8}{3}$	\|: $6$
$t^{2}$	=	$\frac{4}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{\frac{4}{9}}$	≈ $- \frac{2}{3}$
t₂	=	$\sqrt{\frac{4}{9}}$	≈ $\frac{2}{3}$

Für t= $- \frac{2}{3}$ und t= $\frac{2}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.