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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= -3 t x 4 + t x 3 und vereinfache:

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f(x)= -3 t x 4 + t x 3

f'(x)= -12 t x 3 +3 t x 2

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= - e x und vereinfache:

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f(x)= - e x

f'(x)= - e x

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= 3 t x 2 +2x im Punkt B(-2|f(-2)) parallel zur Gerade y= -10x +5 ?

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= 3 t x 2 +2x

f'(x)= 6 t x +2

In diese Ableitung setzen wir x=-2 ein:

f'(-2)= 6 t ( -2 ) +2 = -12t +2

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= -10 x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(-2)= -12t +2 soll gleich -10 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung -12t +2 = -10 nach t auf.

-12t +2 = -10 | -2
-12t = -12 |:(-12 )
t = 1

Für t= 1 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= -2 t 2 x 3 + t im Punkt B(-1|f(-1)) parallel zur Gerade y= - 3 2 x +5 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= -2 t 2 x 3 + t

f'(x)= -6 t 2 x 2 +0

= -6 t 2 x 2

In diese Ableitung setzen wir x=-1 ein:

f'(-1) = -6 t 2 ( -1 ) 2 = -6 t 2 1 = -6 t 2

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= - 3 2 x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(-1)= -6 t 2 soll gleich - 3 2 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung -6 t 2 = - 3 2 nach t auf.

-6 t 2 = - 3 2 |: ( -6 )
t 2 = 1 4 | 2
t1 = - 1 4 = - 1 2
t2 = 1 4 = 1 2

Für t= - 1 2 und t= 1 2 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.