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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} \cdot e^{- 2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} \cdot e^{- 2 t x}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 t x} - 3 x^{3} \cdot e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t)$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 t x} - 3 x^{3} \cdot (- 2 t e^{- 2 t x})$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 t x} + 6 t x^{3} \cdot e^{- 2 t x}$

= $e^{- 2 t x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 t x^{3})$

= $e^{- 2 t x} \cdot (6 t x^{3} - 9 x^{2})$

= $(6 t x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{t x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t e^{t x - 4}$

$f'(x) =$ $t e^{t x - 4} \cdot t$

= $t^{2} e^{t x - 4}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{2} + 5 x$ im Punkt B( $- 3$ |f( $- 3$ )) parallel zur Gerade y= $17 x + 3$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 t x + 5$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 3$ ein:

f'( $- 3$ )= $- 4 t \cdot (- 3) + 5$ = $12 t + 5$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $17$ x+3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 3$ )= $12 t + 5$ soll gleich $17$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $12 t + 5$ = $17$ nach t auf.

$12 t + 5$	=	$17$	\| $- 5$
$12 t$	=	$12$	\|: $12$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{4}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $- 8 x - 7$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t x^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 t x^{3}$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ ) = $- 8 t \cdot 1^{3}$ = $- 8 t \cdot 1$ = $- 8 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 8$ x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $- 8 t$ soll gleich $- 8$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 8 t$ = $- 8$ nach t auf.

$- 8 t$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.