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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $4 x \cdot e^{2 t x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $4 x \cdot e^{2 t x} + 2 x^{2} \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $4 x \cdot e^{2 t x} + 4 t x^{2} \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (4 t x^{2} + 4 x)$

= $(4 t x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{- 3 t x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t e^{- 3 t x + 2}$

$f'(x) =$ $t e^{- 3 t x + 2} \cdot (- 3 t)$

= $- 3 t^{2} e^{- 3 t x + 2}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- 9 x - 3$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 t x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 t x} + (x + 2) \cdot e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t)$

= $e^{- 2 t x} + (x + 2) \cdot (- 2 t e^{- 2 t x})$

= $e^{- 2 t x} - 2 t (x + 2) \cdot e^{- 2 t x}$

= $e^{- 2 t x} \cdot (1 - 2 t x - 4 t)$

= $e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t x + (- 4 t + 1))$

= $(- 2 t x + (- 4 t + 1)) \cdot e^{- 2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $e^{- 2 t \cdot 0} - 2 t \cdot (0 + 2) \cdot e^{- 2 t \cdot 0}$ = $- 4 t + 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 9$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- 4 t + 1$ soll gleich $- 9$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 4 t + 1$ = $- 9$ nach t auf.

$- 4 t + 1$	=	$- 9$	\| $- 1$
$- 4 t$	=	$- 10$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Für t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 e^{t^{2} x - 2 t^{2}}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $\frac{25}{2} x + 9$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 e^{t^{2} x - 2 t^{2}}$

$f'(x) =$ $2 e^{t^{2} x - 2 t^{2}} \cdot t^{2}$

= $2 t^{2} e^{t^{2} x - 2 t^{2}}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $2 t^{2} e^{t^{2} \cdot 2 - 2 t^{2}}$ = $2 t^{2} e^{2 t^{2} - 2 t^{2}}$ = $2 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{25}{2}$ x+9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $2 t^{2}$ soll gleich $\frac{25}{2}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $2 t^{2}$ = $\frac{25}{2}$ nach t auf.

$2 t^{2}$	=	$\frac{25}{2}$	\|: $2$
$t^{2}$	=	$\frac{25}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{4}}$	= $- \frac{5}{2}$
t₂	=	$\sqrt{\frac{25}{4}}$	= $\frac{5}{2}$

Für t= $- \frac{5}{2}$ und t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.