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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= - x 3 · e t x und vereinfache:

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f(x)= - x 3 · e t x

f'(x)= -3 x 2 · e t x - x 3 · e t x · t

= -3 x 2 · e t x - x 3 · t e t x

= -3 x 2 · e t x - t x 3 · e t x

= e t x · ( -3 x 2 - t x 3 )

= e t x · ( - t x 3 -3 x 2 )

= ( - t x 3 -3 x 2 ) · e t x

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= t x 2 · e -x +1 und vereinfache:

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f(x)= t x 2 · e -x +1

f'(x)= 2 t x · e -x +1 + t x 2 · e -x +1 · ( -1 )

= 2 t x · e -x +1 + t x 2 · ( - e -x +1 )

= 2 t x · e -x +1 - t x 2 · e -x +1

= e -x +1 · ( 2 t x - t x 2 )

= e -x +1 · ( - t x 2 +2 t x )

= ( - t x 2 +2 t x ) · e -x +1

= t x e -x +1 ( -x +2 )

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= - e t x -2 t +3x im Punkt B(2|f(2)) parallel zur Gerade y= x -1 ?

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Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= - e t x -2 t +3x

f'(x)= - e t x -2 t · t +3

= - t e t x -2 t +3

In diese Ableitung setzen wir x=2 ein:

f'(2)= - t e t 2 -2 t +3 = -t +3

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= 1 x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(2)= -t +3 soll gleich 1 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung -t +3 = 1 nach t auf.

-t +3 = 1 | -3
-t = -2 |:(-1 )
t = 2

Für t= 2 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= -3 t 2 x + t im Punkt B(-2|f(-2)) parallel zur Gerade y= -3x +1 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= -3 t 2 x + t

f'(x)= -3 t 2 +0

= -3 t 2

In diese Ableitung setzen wir x=-2 ein:

f'(-2) = -3 t 2 = -3 t 2

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= -3 x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(-2)= -3 t 2 soll gleich -3 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung -3 t 2 = -3 nach t auf.

-3 t 2 = -3 |: ( -3 )
t 2 = 1 | 2
t1 = - 1 = -1
t2 = 1 = 1

Für t= -1 und t= 1 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.