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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{3 t x + t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 t x + t}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 t x + t} \cdot 3 t$

= $- 9 t e^{3 t x + t}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x - 2}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welches t hat der Graph von f mit $f_{t} (x) =$ $- 8 t e^{x - 2} + 8 x$ an der Stelle x = $2$ eine waagrechte Tangente

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 8 t e^{x - 2} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 8 t e^{x - 2} \cdot 1 + 8$

= $- 8 t e^{x - 2} + 8$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $- 8 t e^{2 - 2} + 8$ = $- 8 t + 8$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'( $2$ )= $- 8 t + 8$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 8 t + 8$ = 0 nach t auf.

$- 8 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 8 t$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t^{2} x^{4} + t$ im Punkt B( $- 3$ |f( $- 3$ )) parallel zur Gerade y= $- 324 x - 8$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{4} + t$

$f'(x) =$ $12 t^{2} x^{3} + 0$

= $12 t^{2} x^{3}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 3$ ein:

f'( $- 3$ ) = $12 t^{2} \cdot {(- 3)}^{3}$ = $12 t^{2} \cdot (- 27)$ = $- 324 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 324$ x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 3$ )= $- 324 t^{2}$ soll gleich $- 324$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 324 t^{2}$ = $- 324$ nach t auf.

$- 324 t^{2}$	=	$- 324$	\|: $(- 324)$
$t^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
t₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Für t= $- 1$ und t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.