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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= - e 3 t x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - e 3 t x 3

f'(x)= - e 3 t x 3 · 9 t x 2

= -9 t · e 3 t x 3 x 2

= -9 t x 2 e 3 t x 3

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= t e -2 t x + t und vereinfache:

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f(x)= t e -2 t x + t

f'(x)= t e -2 t x + t · ( -2 t )

= -2 t 2 e -2 t x + t

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= 1 2 e t x -2 t +3x im Punkt B(2|f(2)) parallel zur Gerade y= 9 2 x -7 ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= 1 2 e t x -2 t +3x

f'(x)= 1 2 e t x -2 t · t +3

= 1 2 t e t x -2 t +3

In diese Ableitung setzen wir x=2 ein:

f'(2)= 1 2 t e t 2 -2 t +3 = 1 2 t +3

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= 9 2 x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(2)= 1 2 t +3 soll gleich 9 2 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung 1 2 t +3 = 9 2 nach t auf.

1 2 t +3 = 9 2 |⋅ 2
2( 1 2 t +3 ) = 9
t +6 = 9 | -6
t = 3

Für t= 3 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= 2 t x 2 +2 t im Punkt B(-1|f(-1)) parallel zur Gerade y= -4x -1 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= 2 t x 2 +2 t

f'(x)= 4 t x +0

= 4 t x

In diese Ableitung setzen wir x=-1 ein:

f'(-1) = 4 t ( -1 ) = -4 t

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= -4 x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(-1)= -4 t soll gleich -4 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung -4t = -4 nach t auf.

-4t = -4 |:(-4 )
t = 1

Für t= 1 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.