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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{3} \cdot e^{t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot e^{t x}$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot e^{t x} + 3 x^{3} \cdot e^{t x} \cdot t$

= $9 x^{2} \cdot e^{t x} + 3 x^{3} \cdot t e^{t x}$

= $9 x^{2} \cdot e^{t x} + 3 t x^{3} \cdot e^{t x}$

= $e^{t x} \cdot (3 t x^{3} + 9 x^{2})$

= $(3 t x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t x \cdot e^{- t x + t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x \cdot e^{- t x + t}$

$f'(x) =$ $t \cdot e^{- t x + t} + t x \cdot e^{- t x + t} \cdot (- t)$

= $t e^{- t x + t} + t x \cdot (- t e^{- t x + t})$

= $t e^{- t x + t} - t^{2} x \cdot e^{- t x + t}$

= $e^{- t x + t} \cdot (t - t^{2} x)$

= $e^{- t x + t} \cdot (- t^{2} x + t)$

= $(- t^{2} x + t) \cdot e^{- t x + t}$

= $e^{- t x + t} \cdot (- t^{2} x + t)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welches t hat der Graph von f mit $f_{t} (x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- t x}$ an der Stelle x = $0$ eine waagrechte Tangente

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- t x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- t x} + (x - 3) \cdot e^{- t x} \cdot (- t)$

= $e^{- t x} + (x - 3) \cdot (- t e^{- t x})$

= $e^{- t x} - t (x - 3) \cdot e^{- t x}$

= $e^{- t x} \cdot (1 - t x + 3 t)$

= $e^{- t x} \cdot (- t x + 3 t + 1)$

= $(- t x + 3 t + 1) \cdot e^{- t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $e^{- t \cdot 0} - t \cdot (0 - 3) \cdot e^{- t \cdot 0}$ = $3 t + 1$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'( $0$ )= $3 t + 1$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $3 t + 1$ = 0 nach t auf.

$3 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 t$	=	$- 1$	\|: $3$
$t$	=	$- \frac{1}{3}$

Für t= $- \frac{1}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t^{2} x^{2}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- 54 x - 9$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $6 t^{2} x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $6 t^{2} \cdot (- 1)$ = $- 6 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 54$ x-9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 6 t^{2}$ soll gleich $- 54$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 6 t^{2}$ = $- 54$ nach t auf.

$- 6 t^{2}$	=	$- 54$	\|: $(- 6)$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für t= $- 3$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.