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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $5 e^{2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 e^{2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2}}$

$f'(x) =$ $5 e^{2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2}} \cdot 4 t^{2} x$

= $20 t^{2} \cdot e^{2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2}} x$

= $20 t^{2} x e^{2 t^{2} x^{2} + 2 t^{2}}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{x - 5} \cdot 1$

= $- e^{x - 5}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{2} + 2 t x$ im Punkt B( $3$ |f( $3$ )) parallel zur Gerade y= $- 6 x + 1$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 t x$

$f'(x) =$ $- 4 x + 2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $3$ ein:

f'( $3$ )= $- 4 \cdot 3 + 2 t$ = $2 t - 12$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 6$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $3$ )= $2 t - 12$ soll gleich $- 6$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $2 t - 12$ = $- 6$ nach t auf.

$2 t - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$2 t$	=	$6$	\|: $2$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{3}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $27 x + 9$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t x^{3}$

$f'(x) =$ $9 t x^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ ) = $9 t \cdot 1^{2}$ = $9 t \cdot 1$ = $9 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $27$ x+9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $9 t$ soll gleich $27$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $9 t$ = $27$ nach t auf.

$9 t$	=	$27$	\|: $9$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.