Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t x^{4} + t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t x^{4} + t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 12 t x^{3} + t^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x + 4}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- t e^{x} + x$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $\frac{1}{2} x + 4$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- t e^{x} + x$

$f'(x) =$ $- t e^{x} + 1$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $- t e^{0} + 1$ = $- t + 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{1}{2}$ x+4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- t + 1$ soll gleich $\frac{1}{2}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- t + 1$ = $\frac{1}{2}$ nach t auf.

$- t + 1$	=	$\frac{1}{2}$	\| $- 1$
$- t$	=	$- \frac{1}{2}$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(- x + 5) \cdot e^{2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $19 x - 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- x + 5) \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{2 t x} + (- x + 5) \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $- e^{2 t x} + (- x + 5) \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $- e^{2 t x} + 2 t (- x + 5) \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (- 1 - 2 t x + 10 t)$

= $e^{2 t x} \cdot (- 2 t x + 10 t - 1)$

= $(- 2 t x + 10 t - 1) \cdot e^{2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $- e^{2 t \cdot 0} + 2 t \cdot (- 0 + 5) \cdot e^{2 t \cdot 0}$ = $- 1 + 10 t$ = $10 t - 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $19$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $10 t - 1$ soll gleich $19$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $10 t - 1$ = $19$ nach t auf.

$10 t - 1$	=	$19$	\| $+ 1$
$10 t$	=	$20$	\|: $10$
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.