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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{2} \cdot e^{- 3 t x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 x^{2} \cdot e^{- 3 t x}$

$f'(x) =$ $- 4 x \cdot e^{- 3 t x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 3 t x} \cdot (- 3 t)$

= $- 4 x \cdot e^{- 3 t x} - 2 x^{2} \cdot (- 3 t e^{- 3 t x})$

= $- 4 x \cdot e^{- 3 t x} + 6 t x^{2} \cdot e^{- 3 t x}$

= $e^{- 3 t x} \cdot (- 4 x + 6 t x^{2})$

= $e^{- 3 t x} \cdot (6 t x^{2} - 4 x)$

= $(6 t x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + 5 t$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- x^{2} + 5 t$

$f'(x) =$ $- 2 x + 0$

= $- 2 x$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $5 e^{t x} + 15 x$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $\frac{50}{3} x - 5$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $5 e^{t x} + 15 x$

$f'(x) =$ $5 e^{t x} \cdot t + 15$

= $5 t e^{t x} + 15$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $5 t e^{t \cdot (0)} + 15$ = $5 t + 15$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{50}{3}$ x-5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $5 t + 15$ soll gleich $\frac{50}{3}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $5 t + 15$ = $\frac{50}{3}$ nach t auf.

$5 t + 15$	=	$\frac{50}{3}$	\| $- 15$
$5 t$	=	$\frac{5}{3}$	\|: $5$
$t$	=	$\frac{1}{3}$

Für t= $\frac{1}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(- 2 x - 4) \cdot e^{- t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $2 x + 5$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- 2 x - 4) \cdot e^{- t x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- t x} + (- 2 x - 4) \cdot e^{- t x} \cdot (- t)$

= $- 2 e^{- t x} + (- 2 x - 4) \cdot (- t e^{- t x})$

= $- 2 e^{- t x} - t (- 2 x - 4) \cdot e^{- t x}$

= $e^{- t x} \cdot (2 t x + 4 t - 2)$

= $(2 t x + 4 t - 2) \cdot e^{- t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $- 2 e^{- t \cdot 0} - t \cdot (- 2 \cdot 0 - 4) \cdot e^{- t \cdot 0}$ = $- 2 + 4 t$ = $4 t - 2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $2$ x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $4 t - 2$ soll gleich $2$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $4 t - 2$ = $2$ nach t auf.

$4 t - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$4 t$	=	$4$	\|: $4$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

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Ableiten mit Parameter

Ableiten mit Parameter (BF)

gegeb. Tangentensteigung (BF)

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0