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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 t^{2} x$

$f'(x) =$ $2 t^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - t}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x - t} + x^{2} \cdot e^{- 2 x - t} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - t} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x - t})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - t} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x - t}$

= $e^{- 2 x - t} \cdot (2 x - 2 x^{2})$

= $e^{- 2 x - t} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - t}$

= $2 x e^{- (2 x + t)} (- x + 1)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{1}{2} e^{- t x + 2 t} - x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $- 2 x - 9$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- t x + 2 t} - x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- t x + 2 t} \cdot (- t) - 1$

= $- \frac{1}{2} t e^{- t x + 2 t} - 1$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $- \frac{1}{2} t e^{- t \cdot 2 + 2 t} - 1$ = $- \frac{1}{2} t - 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 2$ x-9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- \frac{1}{2} t - 1$ soll gleich $- 2$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- \frac{1}{2} t - 1$ = $- 2$ nach t auf.

$- \frac{1}{2} t - 1$	=	$- 2$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} t - 1)$	=	$- 4$
$- t - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
$- t$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{t x - 2 t}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $- x + 6$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- e^{t x - 2 t}$

$f'(x) =$ $- e^{t x - 2 t} \cdot t$

= $- t e^{t x - 2 t}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $- t e^{t \cdot 2 - 2 t}$ = $- t e^{2 t - 2 t}$ = $- t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 1$ x+6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- t$ soll gleich $- 1$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- t$ = $- 1$ nach t auf.

$- t$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.