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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 x \cdot e^{t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot e^{t x}$

$f'(x) =$ $3 \cdot e^{t x} + 3 x \cdot e^{t x} \cdot t$

= $3 e^{t x} + 3 x \cdot t e^{t x}$

= $3 e^{t x} + 3 t x \cdot e^{t x}$

= $e^{t x} \cdot (3 t x + 3)$

= $(3 t x + 3) \cdot e^{t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{3} - 5 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 5 t$

$f'(x) =$ $6 x^{2} + 0$

= $6 x^{2}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 e^{t x + t} + 6 x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $2 x - 3$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 e^{t x + t} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 e^{t x + t} \cdot t + 6$

= $- 2 t e^{t x + t} + 6$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ )= $- 2 t e^{t \cdot (- 1) + t} + 6$ = $- 2 t + 6$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $2$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 2 t + 6$ soll gleich $2$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 2 t + 6$ = $2$ nach t auf.

$- 2 t + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$- 2 t$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t^{2} x^{4} + 2 t^{2} x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{1504}{9} x + 5$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 t^{2} x^{4} + 2 t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 12 t^{2} x^{3} + 2 t^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $- 12 t^{2} \cdot 2^{3} + 2 t^{2}$ = $- 96 t^{2} + 2 t^{2}$ = $- 94 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{1504}{9}$ x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- 94 t^{2}$ soll gleich $- \frac{1504}{9}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 94 t^{2}$ = $- \frac{1504}{9}$ nach t auf.

$- 94 t^{2}$	=	$- \frac{1504}{9}$	\|: $(- 94)$
$t^{2}$	=	$\frac{16}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{\frac{16}{9}}$	≈ $- \frac{4}{3}$
t₂	=	$\sqrt{\frac{16}{9}}$	≈ $\frac{4}{3}$

Für t= $- \frac{4}{3}$ und t= $\frac{4}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.