$\text{f(x)}=$ $4e^{-t^2{x}^2+2t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $4e^{-t^2{x}^2+2t^{2}x}·\left(-2t^{2}x+2t^2\right)$

= $4·e^{-t^2{x}^2+2t^{2}x}\left(-2t^{2}x+2t^2\right)$

= $4\left(-2t^{2}x+2t^2\right)e^{-t^2{x}^2+2t^{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $t{e}^{x-2t}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{x-2t}·1$

= $t{e}^{x-2t}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-1\right)·e^{-2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-2tx}+\left(-x-1\right)·e^{-2tx}·\left(-2t\right)$

= $-e^{-2tx}+\left(-x-1\right)·\left(-2t{e}^{-2tx}\right)$

= $-e^{-2tx}-2t\left(-x-1\right)·e^{-2tx}$

= $e^{-2tx}·\left(2tx+2t-1\right)$

= $e^{-2tx}·\left(2tx+2t-1\right)$

= $\left(2tx+2t-1\right)·e^{-2tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-e^{-2t\cdot 0}-2t·\left(-0-1\right)·e^{-2t\cdot 0}$= $2t-1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{1}{3}$x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $2t-1$ soll gleich $\frac{1}{3}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $2t-1$ = $\frac{1}{3}$ nach t auf.

Für t= $\frac{2}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $2e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}·\left(2t^{2}x-2t^2\right)$

= $2·e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}\left(2t^{2}x-2t^2\right)$

= $2\left(2t^{2}x-2t^2\right)e^{t^2{x}^2-2t^{2}x}$

In diese Ableitung setzen wir x=$2$ ein:

f'($2$) = $2·e^{t^2\cdot 2^2-2t^2\cdot 2}·\left(2t^2\cdot 2-2t^2\right)$ = $2·e^0·\left(4t^2-2t^2\right)$ = $4t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $1$x+7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($2$)= $4t^2$ soll gleich $1$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $4t^2$ = $1$ nach t auf.

Für t= $-\frac{1}{2}$ und t= $\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.