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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 e^{- 2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 t x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t)$

= $- 6 t e^{- 2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- t x^{3} - 4 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- t x^{3} - 4 t x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 t x^{2} - 8 t x$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{3 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $25 x - 6$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{3 t x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{3 t x} + (- 2 x + 3) \cdot e^{3 t x} \cdot 3 t$

= $- 2 e^{3 t x} + (- 2 x + 3) \cdot 3 t e^{3 t x}$

= $- 2 e^{3 t x} + 3 t (- 2 x + 3) \cdot e^{3 t x}$

= $e^{3 t x} \cdot (- 2 - 6 t x + 9 t)$

= $e^{3 t x} \cdot (- 6 t x + 9 t - 2)$

= $(- 6 t x + 9 t - 2) \cdot e^{3 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $- 2 e^{3 t \cdot 0} + 3 t \cdot (- 2 \cdot 0 + 3) \cdot e^{3 t \cdot 0}$ = $9 t - 2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $25$ x-6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $9 t - 2$ soll gleich $25$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $9 t - 2$ = $25$ nach t auf.

$9 t - 2$	=	$25$	\| $+ 2$
$9 t$	=	$27$	\|: $9$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- t x + 2 t$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{1}{3} x + 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- t x + 2 t$

$f'(x) =$ $- t + 0$

= $- t$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $- t$ = $- t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{1}{3}$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- t$ soll gleich $- \frac{1}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- t$ = $- \frac{1}{3}$ nach t auf.

$- t$	=	$- \frac{1}{3}$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$\frac{1}{3}$

Für t= $\frac{1}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.