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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t^{2} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t^{2} x^{4}$

$f'(x) =$ $4 t^{2} x^{3}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{3 x + 2 t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t e^{3 x + 2 t}$

$f'(x) =$ $t e^{3 x + 2 t} \cdot 3$

= $3 t e^{3 x + 2 t}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{2}$ im Punkt B( $- 3$ |f( $- 3$ )) parallel zur Gerade y= $- 18 x - 9$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t x^{2}$

$f'(x) =$ $6 t x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 3$ ein:

f'( $- 3$ )= $6 t \cdot (- 3)$ = $- 18 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 18$ x-9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 3$ )= $t$ soll gleich $- 18$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 18 t$ = $- 18$ nach t auf.

$- 18 t$	=	$- 18$	\|:( $- 18$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- t x^{3}$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 24 x + 6$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- t x^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 t x^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ ) = $- 3 t \cdot {(- 2)}^{2}$ = $- 3 t \cdot 4$ = $- 12 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 24$ x+6 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 12 t$ soll gleich $- 24$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 12 t$ = $- 24$ nach t auf.

$- 12 t$	=	$- 24$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.