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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $x \cdot e^{2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot e^{2 t x}$

$f'(x) =$ $1 \cdot e^{2 t x} + x \cdot e^{2 t x} \cdot 2 t$

= $e^{2 t x} + x \cdot 2 t e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} + 2 t x \cdot e^{2 t x}$

= $e^{2 t x} \cdot (2 t x + 1)$

= $(2 t x + 1) \cdot e^{2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{- 2 x - t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t e^{- 2 x - t}$

$f'(x) =$ $t e^{- 2 x - t} \cdot (- 2)$

= $- 2 t e^{- 2 x - t}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welches t hat der Graph von f mit $f_{t} (x) =$ $(- x - 4) \cdot e^{t x}$ an der Stelle x = $0$ eine waagrechte Tangente

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- x - 4) \cdot e^{t x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{t x} + (- x - 4) \cdot e^{t x} \cdot t$

= $- e^{t x} + (- x - 4) \cdot t e^{t x}$

= $- e^{t x} + t (- x - 4) \cdot e^{t x}$

= $e^{t x} \cdot (- t x - 4 t - 1)$

= $e^{t x} \cdot (- t x + (- 4 t - 1))$

= $(- t x + (- 4 t - 1)) \cdot e^{t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $- e^{t \cdot 0} + t \cdot (- 0 - 4) \cdot e^{t \cdot 0}$ = $- 4 t - 1$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'( $0$ )= $- 4 t - 1$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 4 t - 1$ = 0 nach t auf.

$- 4 t - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- 4 t$	=	$1$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$- \frac{1}{4}$ = -0.25

Für t= $- \frac{1}{4}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $t^{2} x^{2} + t^{2}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- 2 x + 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $t^{2} x^{2} + t^{2}$

$f'(x) =$ $2 t^{2} x + 0$

= $2 t^{2} x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $2 t^{2} \cdot (- 1)$ = $- 2 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 2$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 2 t^{2}$ soll gleich $- 2$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 2 t^{2}$ = $- 2$ nach t auf.

$- 2 t^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$t^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
t₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Für t= $- 1$ und t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.