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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t^{2} x^{4} + 2 t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t^{2} x^{4} + 2 t x^{2}$

$f'(x) =$ $4 t^{2} x^{3} + 4 t x$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{- 3 t x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{- 3 t x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x \cdot e^{- 3 t x + 3} + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 t x + 3} \cdot (- 3 t)$

= $4 x \cdot e^{- 3 t x + 3} + 2 x^{2} \cdot (- 3 t e^{- 3 t x + 3})$

= $4 x \cdot e^{- 3 t x + 3} - 6 t x^{2} \cdot e^{- 3 t x + 3}$

= $e^{- 3 t x + 3} \cdot (4 x - 6 t x^{2})$

= $e^{- 3 t x + 3} \cdot (- 6 t x^{2} + 4 x)$

= $(- 6 t x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 t x + 3}$

= $2 x e^{3 (- t x + 1)} (- 3 t x + 2)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{- 2 t x + 4 t} - 12 x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $- 6 x - 3$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 t x + 4 t} - 12 x$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 t x + 4 t} \cdot (- 2 t) - 12$

= $6 t e^{- 2 t x + 4 t} - 12$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $6 t e^{- 2 t \cdot 2 + 4 t} - 12$ = $6 t - 12$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 6$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $6 t - 12$ soll gleich $- 6$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $6 t - 12$ = $- 6$ nach t auf.

$6 t - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$6 t$	=	$6$	\|: $6$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 3 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- 35 x - 3$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 3 t x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 t x} + (x + 4) \cdot e^{- 3 t x} \cdot (- 3 t)$

= $e^{- 3 t x} + (x + 4) \cdot (- 3 t e^{- 3 t x})$

= $e^{- 3 t x} - 3 t (x + 4) \cdot e^{- 3 t x}$

= $e^{- 3 t x} \cdot (- 3 t x - 12 t + 1)$

= $e^{- 3 t x} \cdot (- 3 t x + (- 12 t + 1))$

= $(- 3 t x + (- 12 t + 1)) \cdot e^{- 3 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $e^{- 3 t \cdot 0} - 3 t \cdot (0 + 4) \cdot e^{- 3 t \cdot 0}$ = $1 - 12 t$ = $- 12 t + 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 35$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- 12 t + 1$ soll gleich $- 35$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 12 t + 1$ = $- 35$ nach t auf.

$- 12 t + 1$	=	$- 35$	\| $- 1$
$- 12 t$	=	$- 36$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.