Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t x^{2} + t^{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t x^{2} + t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 6 t x + t^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{- 3 t x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t e^{- 3 t x + 3}$

$f'(x) =$ $t e^{- 3 t x + 3} \cdot (- 3 t)$

= $- 3 t^{2} e^{- 3 t x + 3}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} - 2 t x^{2}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $- 5 x - 8$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $x^{3} - 2 t x^{2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4 t x$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ )= $3 \cdot 1^{2} - 4 t \cdot 1$ = $- 4 t + 3$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 5$ x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $- 4 t + 3$ soll gleich $- 5$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 4 t + 3$ = $- 5$ nach t auf.

$- 4 t + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t^{2} x^{3}$ im Punkt B( $- 3$ |f( $- 3$ )) parallel zur Gerade y= $9 x - 3$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{3}$

$f'(x) =$ $9 t^{2} x^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 3$ ein:

f'( $- 3$ ) = $9 t^{2} \cdot {(- 3)}^{2}$ = $9 t^{2} \cdot 9$ = $81 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $9$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 3$ )= $81 t^{2}$ soll gleich $9$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $81 t^{2}$ = $9$ nach t auf.

$81 t^{2}$	=	$9$	\|: $81$
$t^{2}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
t₂	=	$\sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $\frac{1}{3}$

Für t= $- \frac{1}{3}$ und t= $\frac{1}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.