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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 e^{- t x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- t x^{3}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- t x^{3}} \cdot (- 3 t x^{2})$

= $6 t \cdot e^{- t x^{3}} x^{2}$

= $6 t x^{2} e^{- t x^{3}}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t x + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t x + 5$

$f'(x) =$ $3 t + 0$

= $3 t$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{2} + 5 x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 19 x - 7$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 t x^{2} + 5 x$

$f'(x) =$ $6 t x + 5$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $6 t \cdot (- 2) + 5$ = $- 12 t + 5$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 19$ x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 12 t + 5$ soll gleich $- 19$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 12 t + 5$ = $- 19$ nach t auf.

$- 12 t + 5$	=	$- 19$	\| $- 5$
$- 12 t$	=	$- 24$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$2$

Für t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $4 e^{t x^{2} - 2 t x}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $\frac{32}{3} x + 2$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $4 e^{t x^{2} - 2 t x}$

$f'(x) =$ $4 e^{t x^{2} - 2 t x} \cdot (2 t x - 2 t)$

= $4 \cdot e^{t x^{2} - 2 t x} (2 t x - 2 t)$

= $4 (2 t x - 2 t) e^{t x^{2} - 2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $4 \cdot e^{t \cdot 2^{2} - 2 t \cdot 2} \cdot (2 t \cdot 2 - 2 t)$ = $4 \cdot e^{0} \cdot (4 t - 2 t)$ = $8 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{32}{3}$ x+2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $8 t$ soll gleich $\frac{32}{3}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $8 t$ = $\frac{32}{3}$ nach t auf.

$8 t$	=	$\frac{32}{3}$	\|: $8$
$t$	=	$\frac{4}{3}$

Für t= $\frac{4}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.