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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 e^{- 3 t^{2} x^{2} + t^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 t^{2} x^{2} + t^{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 t^{2} x^{2} + t^{2}} \cdot (- 6 t^{2} x)$

= $12 t^{2} \cdot e^{- 3 t^{2} x^{2} + t^{2}} x$

= $12 t^{2} x e^{- 3 t^{2} x^{2} + t^{2}}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x + 5}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} - t x$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $- 12 x - 1$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} - t x$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} - t$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ )= $- 9 \cdot 1^{2} - t$ = $- t - 9$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 12$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $- t - 9$ soll gleich $- 12$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- t - 9$ = $- 12$ nach t auf.

$- t - 9$	=	$- 12$	\| $+ 9$
$- t$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{t^{2} x - 2 t^{2}}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $- 12 x + 3$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 e^{t^{2} x - 2 t^{2}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{t^{2} x - 2 t^{2}} \cdot t^{2}$

= $- 3 t^{2} e^{t^{2} x - 2 t^{2}}$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $- 3 t^{2} e^{t^{2} \cdot 2 - 2 t^{2}}$ = $- 3 t^{2} e^{2 t^{2} - 2 t^{2}}$ = $- 3 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 12$ x+3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- 3 t^{2}$ soll gleich $- 12$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 3 t^{2}$ = $- 12$ nach t auf.

$- 3 t^{2}$	=	$- 12$	\|: $(- 3)$
$t^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
t₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Für t= $- 2$ und t= $2$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.