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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= -2 t x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 t x 3

f'(x)= -6 t x 2

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= e -x -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= e -x -4

f'(x)= e -x -4 · ( -1 )

= - e -x -4

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= x 3 +2 t x 2 im Punkt B(1|f(1)) parallel zur Gerade y= 9x +2 ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= x 3 +2 t x 2

f'(x)= 3 x 2 +4 t x

In diese Ableitung setzen wir x=1 ein:

f'(1)= 3 1 2 +4 t 1 = 4t +3

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= 9 x+2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(1)= 4t +3 soll gleich 9 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung 4t +3 = 9 nach t auf.

4t +3 = 9 | -3
4t = 6 |:4
t = 3 2 = 1.5

Für t= 3 2 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= -2 e t x - t im Punkt B(1|f(1)) parallel zur Gerade y= -6x +3 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= -2 e t x - t

f'(x)= -2 e t x - t · t

= -2 t e t x - t

In diese Ableitung setzen wir x=1 ein:

f'(1) = -2 t e t 1 - t = -2 t e t - t = -2 t

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= -6 x+3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(1)= -2 t soll gleich -6 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung -2t = -6 nach t auf.

-2t = -6 |:(-2 )
t = 3

Für t= 3 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.