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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 e^{3 t x^{3} + t^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 e^{3 t x^{3} + t^{2}}$

$f'(x) =$ $- 4 e^{3 t x^{3} + t^{2}} \cdot 9 t x^{2}$

= $- 36 t \cdot e^{3 t x^{3} + t^{2}} x^{2}$

= $- 36 t x^{2} e^{3 t x^{3} + t^{2}}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{3} \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x - 3} - 2 x^{3} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x - 3} - 2 x^{3} \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x - 3} - 6 x^{3} \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{2} - 6 x^{3})$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 6 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

= $- 6 x^{2} e^{3 (x - 1)} (x + 1)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{5}{2} t e^{x - 1} - 10 x$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{25}{4} x - 7$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $\frac{5}{2} t e^{x - 1} - 10 x$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2} t e^{x - 1} \cdot 1 - 10$

= $\frac{5}{2} t e^{x - 1} - 10$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ )= $\frac{5}{2} t e^{1 - 1} - 10$ = $\frac{5}{2} t - 10$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{25}{4}$ x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $\frac{5}{2} t - 10$ soll gleich $- \frac{25}{4}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $\frac{5}{2} t - 10$ = $- \frac{25}{4}$ nach t auf.

$\frac{5}{2} t - 10$	=	$- \frac{25}{4}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} t - 10)$	=	$- \frac{25}{2}$
$5 t - 20$	=	$- \frac{25}{2}$	\| $+ 20$
$5 t$	=	$\frac{15}{2}$	\|: $5$
$t$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

Für t= $\frac{3}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{t x - t}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{3}{2} x + 1$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 e^{t x - t}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{t x - t} \cdot t$

= $- 3 t e^{t x - t}$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ ) = $- 3 t e^{t \cdot 1 - t}$ = $- 3 t e^{t - t}$ = $- 3 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{3}{2}$ x+1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $- 3 t$ soll gleich $- \frac{3}{2}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 3 t$ = $- \frac{3}{2}$ nach t auf.

$- 3 t$	=	$- \frac{3}{2}$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.