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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= - x 2 · e t x und vereinfache:

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f(x)= - x 2 · e t x

f'(x)= -2x · e t x - x 2 · e t x · t

= -2 x · e t x - x 2 · t e t x

= -2 x · e t x - t x 2 · e t x

= e t x · ( -2x - t x 2 )

= e t x · ( - t x 2 -2x )

= ( - t x 2 -2x ) · e t x

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit ft(x)= 2 x 2 · e x und vereinfache:

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f(x)= 2 x 2 · e x

f'(x)= 4x · e x + 2 x 2 · e x

= 4 x · e x +2 x 2 · e x

= e x · ( 4x +2 x 2 )

= e x · ( 2 x 2 +4x )

= ( 2 x 2 +4x ) · e x

= 2 · e x x ( x +2 )

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= ( x -3 ) · e -2 t x im Punkt B(0|f(0)) parallel zur Gerade y= 19x -3 ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= ( x -3 ) · e -2 t x

f'(x)= ( 1 +0 ) · e -2 t x + ( x -3 ) · e -2 t x · ( -2 t )

= e -2 t x + ( x -3 ) · ( -2 t e -2 t x )

= e -2 t x -2 t ( x -3 ) · e -2 t x

= e -2 t x · ( -2 t x +6 t +1 )

= e -2 t x · ( -2 t x + 6t +1 )

= ( -2 t x + 6t +1 ) · e -2 t x

In diese Ableitung setzen wir x=0 ein:

f'(0)= e -2 t 0 -2 t · ( 0 -3 ) · e -2 t 0 = 6t +1

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= 19 x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(0)= 6t +1 soll gleich 19 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung 6t +1 = 19 nach t auf.

6t +1 = 19 | -1
6t = 18 |:6
t = 3

Für t= 3 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit ft(x)= 4 e t 2 x - t 2 im Punkt B(1|f(1)) parallel zur Gerade y= 36x -8 ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

f(x)= 4 e t 2 x - t 2

f'(x)= 4 e t 2 x - t 2 · t 2

= 4 t 2 e t 2 x - t 2

In diese Ableitung setzen wir x=1 ein:

f'(1) = 4 t 2 e t 2 1 - t 2 = 4 t 2 e t 2 - t 2 = 4 t 2

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= 36 x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'(1)= 4 t 2 soll gleich 36 sein.
Dazu lösen wir die Gleichung 4 t 2 = 36 nach t auf.

4 t 2 = 36 |:4
t 2 = 9 | 2
t1 = - 9 = -3
t2 = 9 = 3

Für t= -3 und t= 3 ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.