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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t^{2} x + 2 t$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x + 2 t$

$f'(x) =$ $- 2 t^{2} + 0$

= $- 2 t^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} \cdot e^{- 3 t x - t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} \cdot e^{- 3 t x - t}$

$f'(x) =$ $2 t x \cdot e^{- 3 t x - t} + t x^{2} \cdot e^{- 3 t x - t} \cdot (- 3 t)$

= $2 t x \cdot e^{- 3 t x - t} + t x^{2} \cdot (- 3 t e^{- 3 t x - t})$

= $2 t x \cdot e^{- 3 t x - t} - 3 t^{2} x^{2} \cdot e^{- 3 t x - t}$

= $e^{- 3 t x - t} \cdot (2 t x - 3 t^{2} x^{2})$

= $e^{- 3 t x - t} \cdot (- 3 t^{2} x^{2} + 2 t x)$

= $(- 3 t^{2} x^{2} + 2 t x) \cdot e^{- 3 t x - t}$

= $t x e^{- (3 t x + t)} (- 3 t x + 2)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{3} - t x^{2}$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $20 x - 1$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 x^{3} - t x^{2}$

$f'(x) =$ $6 x^{2} - 2 t x$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ )= $6 \cdot 2^{2} - 2 t \cdot 2$ = $- 4 t + 24$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $20$ x-1 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- 4 t + 24$ soll gleich $20$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 4 t + 24$ = $20$ nach t auf.

$- 4 t + 24$	=	$20$	\| $- 24$
$- 4 t$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{t x + 2 t}$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 8 x - 9$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 3 e^{t x + 2 t}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{t x + 2 t} \cdot t$

= $- 3 t e^{t x + 2 t}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ ) = $- 3 t e^{t \cdot (- 2) + 2 t}$ = $- 3 t e^{- 2 t + 2 t}$ = $- 3 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 8$ x-9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 3 t$ soll gleich $- 8$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 3 t$ = $- 8$ nach t auf.

$- 3 t$	=	$- 8$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$\frac{8}{3}$

Für t= $\frac{8}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.