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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- x \cdot e^{- 2 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x \cdot e^{- 2 t x}$

$f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{- 2 t x} - x \cdot e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t)$

= $- e^{- 2 t x} - x \cdot (- 2 t e^{- 2 t x})$

= $- e^{- 2 t x} + 2 t x \cdot e^{- 2 t x}$

= $e^{- 2 t x} \cdot (- 1 + 2 t x)$

= $e^{- 2 t x} \cdot (2 t x - 1)$

= $(2 t x - 1) \cdot e^{- 2 t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} \cdot e^{- 2 t x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} \cdot e^{- 2 t x - 1}$

$f'(x) =$ $2 t x \cdot e^{- 2 t x - 1} + t x^{2} \cdot e^{- 2 t x - 1} \cdot (- 2 t)$

= $2 t x \cdot e^{- 2 t x - 1} + t x^{2} \cdot (- 2 t e^{- 2 t x - 1})$

= $2 t x \cdot e^{- 2 t x - 1} - 2 t^{2} x^{2} \cdot e^{- 2 t x - 1}$

= $e^{- 2 t x - 1} \cdot (- 2 t^{2} x^{2} + 2 t x)$

= $(- 2 t^{2} x^{2} + 2 t x) \cdot e^{- 2 t x - 1}$

= $2 t x e^{- (2 t x + 1)} \cdot (- t x + 1)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 e^{t x + 2 t} - 6 x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- 4 x - 2$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 e^{t x + 2 t} - 6 x$

$f'(x) =$ $2 e^{t x + 2 t} \cdot t - 6$

= $2 t e^{t x + 2 t} - 6$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $2 t e^{t \cdot (- 2) + 2 t} - 6$ = $2 t - 6$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 4$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $2 t - 6$ soll gleich $- 4$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $2 t - 6$ = $- 4$ nach t auf.

$2 t - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 e^{t^{2} x + t^{2}}$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $18 x - 3$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 e^{t^{2} x + t^{2}}$

$f'(x) =$ $2 e^{t^{2} x + t^{2}} \cdot t^{2}$

= $2 t^{2} e^{t^{2} x + t^{2}}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $2 t^{2} e^{t^{2} \cdot (- 1) + t^{2}}$ = $2 t^{2} e^{- t^{2} + t^{2}}$ = $2 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $18$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $2 t^{2}$ soll gleich $18$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $2 t^{2}$ = $18$ nach t auf.

$2 t^{2}$	=	$18$	\|: $2$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für t= $- 3$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.