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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} \cdot e^{t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} \cdot e^{t x}$

$f'(x) =$ $- 2 x \cdot e^{t x} - x^{2} \cdot e^{t x} \cdot t$

= $- 2 x \cdot e^{t x} - x^{2} \cdot t e^{t x}$

= $- 2 x \cdot e^{t x} - t x^{2} \cdot e^{t x}$

= $e^{t x} \cdot (- 2 x - t x^{2})$

= $e^{t x} \cdot (- t x^{2} - 2 x)$

= $(- t x^{2} - 2 x) \cdot e^{t x}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x \cdot e^{x} + 2 x^{2} \cdot e^{x}$

= $4 x \cdot e^{x} + 2 x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x + 2 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (2 x^{2} + 4 x)$

= $(2 x^{2} + 4 x) \cdot e^{x}$

= $2 \cdot e^{x} x (x + 2)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 2 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $19 x - 3$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 2 t x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 t x} + (x - 3) \cdot e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t)$

= $e^{- 2 t x} + (x - 3) \cdot (- 2 t e^{- 2 t x})$

= $e^{- 2 t x} - 2 t (x - 3) \cdot e^{- 2 t x}$

= $e^{- 2 t x} \cdot (- 2 t x + 6 t + 1)$

= $(- 2 t x + 6 t + 1) \cdot e^{- 2 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $e^{- 2 t \cdot 0} - 2 t \cdot (0 - 3) \cdot e^{- 2 t \cdot 0}$ = $6 t + 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $19$ x-3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $6 t + 1$ soll gleich $19$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $6 t + 1$ = $19$ nach t auf.

$6 t + 1$	=	$19$	\| $- 1$
$6 t$	=	$18$	\|: $6$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $4 e^{t^{2} x - t^{2}}$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) parallel zur Gerade y= $36 x - 8$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $4 e^{t^{2} x - t^{2}}$

$f'(x) =$ $4 e^{t^{2} x - t^{2}} \cdot t^{2}$

= $4 t^{2} e^{t^{2} x - t^{2}}$

In diese Ableitung setzen wir x= $1$ ein:

f'( $1$ ) = $4 t^{2} e^{t^{2} \cdot 1 - t^{2}}$ = $4 t^{2} e^{t^{2} - t^{2}}$ = $4 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $36$ x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $1$ )= $4 t^{2}$ soll gleich $36$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $4 t^{2}$ = $36$ nach t auf.

$4 t^{2}$	=	$36$	\|: $4$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für t= $- 3$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

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Ableiten mit Parameter

Ableiten mit Parameter (BF)

gegeb. Tangentensteigung (BF)

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0