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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1010.0000)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1010.0000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 160
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0000)2 = 160
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 262 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 262 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
262 = 256 + 6 = 256 + 4 + 2
= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 262 = (1.0000.0110)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | |
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0001.0110)2
zu (1110.1001)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0110.1010)2 und -b = (1110.1010)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0101.0100)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(100.1010)2 ⋅ (1001)2 =
Der zweite Faktor (1001)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | ||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 |
somit gilt:
(100.1010)2 ⋅ (1001)2 = 100.1010 ⋅ (1000 + 1)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(100.1010)2 ⋅ (1001)2 = (10.0101.0000)2 + (100.1010)2
Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (10.1001.1010)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 74 ⋅ 9 = 666)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1101.0010)2 : (1010)2 =
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | : | 1 | 0 | 1 | 0 | = | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| - | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| - | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| - | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (1101)2 - (1010)2 = (11)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 10 = 3
- Die obige Differenz (01100)2 - (1010)2 = (10)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 10 = 2
- Die obige Differenz (01010)2 - (1010)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 10 - 10 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 210 : 10 = 21)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(111.0000)2 : (111)2 =
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | : | 1 | 1 | 1 | = | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (111)2 - (111)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 7 - 7 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 112 : 7 = 16)