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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1101.1111)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1101.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 223

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.1111)2 = 223

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 221 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 221 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

221 = 128 + 93
= 128 + 64 + 29
= 128 + 64 + 16 + 13
= 128 + 64 + 16 + 8 + 5
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 221 = (1101.1101)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1001.0000)2
            + (1.0000.0011)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1001.0000)2
            + (1.0000.0011)2
                         
              (1 1001 0011)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0111.1100)2
             - ( 0011.0010)2

Lösung einblenden

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.0010)2
zu (1100.1101)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1100.1101)2
             + ( 0000.0001)2
                        1
               ( 1100 1110)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.1100)2 und -b = (1100.1110)2 addieren:

               ( 0111.1100)2
             + ( 1100.1110)2
               1 1111 1  
              (1 0100 1010)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.1010)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.1000)2 ⋅ (1.0001)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (1.0001)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                        (1)2
                 + (1.0000)2
                   (1 0001)2

somit gilt:

(101.1000)2 ⋅ (1.0001)2 = 101.1000 ⋅ (1.0000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.1000)2 ⋅ (1.0001)2 = (101.1000.0000)2 + (101.1000)2

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

                 (101.1000)2
         +  (101.1000.0000)2
                         
            (101 1101 1000)2

Das Ergebnis ist somit: (101.1101.1000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 88 ⋅ 17 = 1496)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1101.1000)2 : (1100)2 =

Lösung einblenden
11011000 : 1100 = 10010     
- 1100                        
00011                       
- 0000                       
00110                      
- 0000                      
01100                     
- 1100                     
00000                    
- 0000                    
0000                    
  • Die obige Differenz (1101)2 - (1100)2 = (1)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 12 = 1
  • Die obige Differenz (01100)2 - (1100)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 12 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 216 : 12 = 18)

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(110.0001)2 ⋅ (1101.0100)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (1101.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                      (100)2
                   (1.0000)2
                 (100.0000)2
             + ( 1000.0000)2
               ( 1101 0100)2

somit gilt:

(110.0001)2 ⋅ (1101.0100)2 = 110.0001 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 1.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.0001)2 ⋅ (1101.0100)2 = (11.0000.1000.0000)2 + (1.1000.0100.0000)2 + (110.0001.0000)2 + (1.1000.0100)2

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

              (1.1000.0100)2
         +  (110.0001.0000)2
                         
            (111 1001 0100)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

            (111.1001.0100)2
       + (1.1000.0100.0000)2
                         
         (1 1111 1101 0100)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

         (1.1111.1101.0100)2
     +  (11.0000.1000.0000)2
        111 1111         
       (101 0000 0101 0100)2

Das Ergebnis ist somit: (101.0000.0101.0100)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 97 ⋅ 212 = 20564)