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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1.0001.1100)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1.0001.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 284
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.1100)2 = 284
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 180 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 180 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
180 = 128 + 52 = 128 + 32 + 20 = 128 + 32 + 16 + 4
= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 180 = (1011.0100)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 1 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0001.1010)2
zu (1110.0101)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0100.1011)2 und -b = (1110.0110)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0011.0001)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(101.0101)2 ⋅ (10.0001)2 =
Der zweite Faktor (10.0001)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 |
somit gilt:
(101.0101)2 ⋅ (10.0001)2 = 101.0101 ⋅ (10.0000 + 1)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(101.0101)2 ⋅ (10.0001)2 = (1010.1010.0000)2 + (101.0101)2
Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (1010.1111.0101)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 85 ⋅ 33 = 2805)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1.0100.0101)2 : (1101)2 =
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | : | 1 | 1 | 0 | 1 | = | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| - | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| - | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| - | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (10100)2 - (1101)2 = (111)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 20 - 13 = 7
- Die obige Differenz (01110)2 - (1101)2 = (1)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 13 = 1
- Die obige Differenz (01101)2 - (1101)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 13 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 325 : 13 = 25)
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0101.0001)2
zu (1010.1110)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0111.0110)2 und -b = (1010.1111)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0010.0101)2