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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1110.1000)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.1000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 232

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.1000)2 = 232

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 300 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 300 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

300 = 256 + 44
= 256 + 32 + 12
= 256 + 32 + 8 + 4

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 300 = (1.0010.1100)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1111.0001)2
             + ( 1000.1001)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1111.0001)2
             + ( 1000.1001)2
               1        1
              (1 0111 1010)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0111.0100)2
             - ( 0101.0001)2

Lösung einblenden

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.0001)2
zu (1010.1110)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1010.1110)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1010 1111)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.0100)2 und -b = (1010.1111)2 addieren:

               ( 0111.0100)2
             + ( 1010.1111)2
               1 1111 1  
              (1 0010 0011)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0010.0011)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(100.1011)2 ⋅ (10.1010)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (10.1010)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                       (10)2
                    ( 1000)2
               +  (10.0000)2
                  (10 1010)2

somit gilt:

(100.1011)2 ⋅ (10.1010)2 = 100.1011 ⋅ (10.0000 + 1000 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.1011)2 ⋅ (10.1010)2 = (1001.0110.0000)2 + (10.0101.1000)2 + (1001.0110)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

               ( 1001.0110)2
          +  (10.0101.1000)2
                   1     
             (10 1110 1110)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

             (10.1110.1110)2
        + ( 1001.0110.0000)2
             111 11      
          ( 1100 0100 1110)2

Das Ergebnis ist somit: (1100.0100.1110)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 75 ⋅ 42 = 3150)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.0000)2 : (1000)2 =

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1110000 : 1000 = 1110       
- 1000                        
01100                       
- 1000                       
01000                      
- 1000                      
00000                     
- 0000                     
0000                     
  • Die obige Differenz (1110)2 - (1000)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 8 = 6
  • Die obige Differenz (01100)2 - (1000)2 = (100)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 8 = 4
  • Die obige Differenz (01000)2 - (1000)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 8 - 8 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 112 : 8 = 14)

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.0101)2 ⋅ (110.0010)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (110.0010)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                       (10)2
                  (10.0000)2
              +  (100.0000)2
                 (110 0010)2

somit gilt:

(101.0101)2 ⋅ (110.0010)2 = 101.0101 ⋅ (100.0000 + 10.0000 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.0101)2 ⋅ (110.0010)2 = (1.0101.0100.0000)2 + (1010.1010.0000)2 + (1010.1010)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

               ( 1010.1010)2
        + ( 1010.1010.0000)2
               1  1      
          ( 1011 0100 1010)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

          ( 1011.0100.1010)2
       + (1.0101.0100.0000)2
         11 111  1       
        (10 0000 1000 1010)2

Das Ergebnis ist somit: (10.0000.1000.1010)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 85 ⋅ 98 = 8330)